习题1.2名师教学实录

§1.2

充分条件与必要条件习题课

教学目标：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义. 2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明. 教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的定义。

教学难点：利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明

课 型：新授课

教学方法：归纳、启发、讲练结合

教学思路设计：问题导学、题型探究、当堂训练

教学过程：

一、问题导学，知识梳理归纳

1、知识点一

充分条件与必要条件

(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的 条件，q是p的_____条件. (2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的 条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的 条件. 2、知识点二

充要条件

在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的 条件，简称充要条件. (2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.

二、题型探究

1、类型一

判断充分条件、必要条件、充要条件的判断

例1 下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；

(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形

(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根

(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交. 例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？

师生归纳总结- 判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；三、集合法，P是Q的充分不必要条件⇔集合P包含于Q，P是Q的必要不充分条件⇔集合P包含Q，P是Q的充要条件⇔集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；四、传递法，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇏等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度. 类型二

充要条件的探求与证明

例3求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？

解答：(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝ ，符合要求.

(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.

Δ≥0，②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是x1＋x2<0，x1x2>0，a≤1，－2<0，即a1>0，a

∴0

已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P→→→在直线l上的充要条件是OP＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，且x＋y＝1. 解答：

→→→①充分性：若点P满足OP＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，且x＋y＝1，消去y，得

→→→→→→OP＝xOA＋(1－x)OB＝x(OA－OB)＋OB，

→→→→→→∴OP－OB＝x(OA－OB)，即BP＝xBA.

∴点P在直线AB上，即点P在直线l上. ②必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，

→→→→存在实数t，使得AP＝tAB＝t(OB－OA)，

→→→→→→→→∴OP＝OA＋AP＝OA＋tOB－tOA＝(1－t)OA＋tOB. →→→令1－t＝x，t＝y，则OP＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，且x＋y＝1. 三、当堂训练

1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.设命题p：x2－3x＋2<0，q： ≤0，则p是q的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为 ---------

跟踪训练

已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.

四、课堂小结：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法

(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论. (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题. (3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.

课后作业：精讲P23，1、2、3、4、5