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第一部分|小题限时专练

小题专题练

小题专题练(一)

集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式

1．(2018·长春质量监测(二))已知A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x2＋2x＜0}，则A∩B＝(

) A．(－1，0)

C．(－2，0)

B．(0，2) D．(－2，2) 2．设命题p：∀x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1，则(

)

A．﹁p：∀x∈(0，＋∞)，ln x＞x－1 B．﹁p：∀x∈(－∞，0]，ln x＞x－1 C．﹁p：∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＞x0－1 D．﹁p：∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≤x0－1 x＋33．(2018·广州综合测试(一))设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}＝x－1(

) A．A∩B

C．(∁RA)∪(∁RB)

4．下列说法正确的个数是(

) ①“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题；②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；③“∃x0∈R，x20－x0＜0”的否定是“∀x∈R，x2－x＞0”；④“a＋1＞b”是“a＞b”的一个必要不充分条件．

A．0

C．2

B．1

D．3 B．A∪B

D．(∁RA)∩(∁RB) x－y≥05．(2018·贵阳模拟)若实数x，y满足约束条件x＋y＋1≥0，则z＝2x－y的最大值为x－3≤0(

) A．3

C．10

B．6

D．12 m＋nm－n且f(0)2－f2＝n(m＋1)，6．若对任意的实数m，n函数y＝f(x)(x∈R)恒满足f＝1，则f(x)的解析式可以是(

) A．f(x)＝x2＋x＋1

C．f(x)＝x2－x＋1

B．f(x)＝2x＋1 D．f(x)＝x＋1 7．(2018·福州模拟)函数f(x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)的图象大致为(

)

8．(2018·湖南湘东五校联考)已知x＞0，y＞0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则14＋的最小值为(

) xyA．4

C．8

B．9

D．10 9．(2018·兰州模拟)设条件p：实数x，y满足(x－1)2＋[y－(2－2)]2≤3－22；条件q：x－y≤1实数x，y满足x＋y≥1，则p是q的(

) y≤1A．必要不充分条件

C．充要条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

10．(2018·惠州模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(

) A．(2，＋∞)

C.0，2∪(2，＋∞)

210，∪(2，＋∞) B．2D．(2，＋∞) |x＋1|，－7≤x≤0，11．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝x2－2x，设a为实数，－2ln x，e≤x≤e，若存在实数m，使f(m)－2g(a)＝0，则实数a的取值范围是(

) A．[－1，＋∞)

C．[－1，3]

B．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，3] 12．若对任意的正实数x，不等式ex≥ax＋x2ln x恒成立，则正整数a的最大值为(

) A．1

C．3

B．2

D．4 13．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝____________．

14．(2018·开封模拟)已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 015)＝____________．

15．(2018·泰安模拟)已知函数f(x)＝2ln x和直线l：2x－y＋6＝0，若点P是函数f(x)图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为____________．

16．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－2，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．

参考答案与解析

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小题专题练(一)

集合、常用逻辑用语、

函数与导数、不等式

1．解析：选A.由x2＋2x＜0得－2＜x＜0，即B＝(－2，0)，所以A∩B＝(－1，0)．

2．解析：选C.含量词的命题的否定方法为先换量词再否定结论，故选C. x＋33．解析：选D.法一：集合A＝{x|＜0}＝{x|(x＋3)(x－1)＜0}＝{x|－3＜x＜1}，B＝x－1{x|x≤－3}，A∪B＝{x|x＜1}，则集合{x|x≥1}＝(∁RA)∩(∁RB)，选D. 法二：集合B＝{x|x≤－3}，则∁RB＝{x|x＞－3}，集合{x|x≥1}是∁RB的子集，排除A，B，C，故选D. 4．解析：选C.对于①，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故①不正确；对于②，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命2题也是真命题，故②正确；对于③，“∃x0∈R，x20－x0＜0”的否定是“∀x∈R，x－x≥0”，故③不正确；对于④，由a＞b可推得a＋1＞b，但由a＋1＞b不能推出a＞b，故④正确．故选C. 5．解析：选C.先根据约束条件画出可行域，如图所示：

将z＝2x－y的最大值转化为直线y＝2x－z在y轴上截距的最小值．当直线y＝2x－z经过点A时，z最大，又A(3，－4)，故z的最大值为10.

6．解析：选A.法一：对选项中的解析式逐一验证可知选项A正确．

法二：令m＝n＝x，得f(x)－f(0)＝x(x＋1)＝x2＋x，又f(0)＝1，所以f(x)＝x2＋x＋1，故选A. 7．解析：选A.因为f(x)的定义域为(－e，e)，f(－x)＝x2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除C；因为x→e，f(x)→－∞，排除B，D，故选A. 14x＋y4（x＋y）y8．解析：选B.法一：因为a⊥b，所以x＋y＝1，所以＋＝＋＝5＋＋xyxyx4x12≥9，当且仅当x＝，y＝时取等号．故选B. y33（3x－1）（x＋1）1414法二：由题意，知x＋y＝1，设f(x)＝＋＝＋(0＜x＜1)，f′(x)＝，xyx1－x（x－x2）211当＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)min331＝f3＝9.故选B. 9．解析：选B.如图所示，不等式(x－1)2＋[y－(2－2)]2≤3－22＝(2－1)2表示圆形x－y≤1区域，不等式组x＋y≥1表示三角形区域，因为圆心(1，2－2)到直线x－y＝1，x＋y＝1，y≤1y＝1的距离均等于圆的半径2－1，所以圆是三角形的内切圆，所以p是q的充分不必要条件．

10．解析：选B.因为f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(log2x)＞2＝f(1)⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1⇔log2x＞1或log2x＜－11⇔x＞2或0＜x＜.故选B. 211．解析：选C.当－7≤x≤0时，f(x)＝|x＋1|∈[0，6]，当e2≤x≤e时，f(x)＝ln x单调－递增，得f(x)∈[－2，1]，综上，f(x)∈[－2，6]．若存在实数m，使f(m)－2g(a)＝0，则有－2≤2g(a)≤6，即－1≤a2－2a≤3⇒－1≤a≤3.故选C. 12．解析：选B.当x＝1时，有a≤e，所以正整数a的可能取值为1，2.当a＝2时，不ex2ex2等式为e－2x≥xln x，即2－－ln x≥0对任意的x＞0恒成立．记g(x)＝2－－ln x，则g′(x)xxxxx2

（x－2）ex21（x－2）（ex－x）＝＋2－＝(x＞0)，显然ex＞x，所以当x∈(0，2)时，g′(x)＜0，33xxxx1函数g(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增．所以g(x)≥g(2)＝(e24－4－4ln 2)＞0，所以在a＝2时，对任意的正实数x，不等式ex≥ax＋x2ln x恒成立，所以正整数a的最大值为2. 13．解析：因为f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(－x)＝ln(e3x－3x1e1＋3x3x3x＋1－ax＝ln＋1)－ax＝ln－ax＝ln(1＋e)－3x－ax＝ln(e＋1)＋ax，所以－3－a3xee3＝a，解得a＝－. 23答案：－

214．解析：由题意得f(2 015)＝f(4×504－1)＝f(－1)＝－f(1)，又当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，故f(1)＝2＋log21＝2，所以f(2 015)＝－2. 答案：－2 215．解析：设直线2x－y＋m＝0与曲线f(x)＝2ln x相切于点P(x0，y0)，f′(x)＝，依题f′(x0)x2＝＝2，即x0＝1，所以y0＝2ln 1＝0，故切点为P(1，0)，易知此时点P到直线l的距离最x0短，故最短距离d＝85答案：

5214x－11116．解析：f′(x)＝4x－＝.令f′(x)＝0，解得x＝±.又x>0，所以x＝.因为y＝f(x)xx222＋685＝. 522＋1215在(k－2，k＋1)上不是单调函数，所以0≤k－2<

答案：2