信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学设计及教案分析

《椭圆及其标准方程》（新授概念课）教学设计

【课题】：《椭圆及其标准方程》 人教A版选修1-1 第二章2.1.1

一、教学目标

1、考纲要求

了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；

了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质；

了解数形结合的思想；

了解圆锥曲线的简单应用

2、终点目标

I会根据定义求椭圆的标准方程；（概念性知识的理解）

II能确定椭圆的位置，在二维坐标系中能画出椭圆的大致图像；(策略性知识的分析) III能进行简单的几何应用(程序性知识的应用)

3、使能目标----先行条件分析，建立相互间的逻辑关系；

椭圆及其标准方程

定义

列出标准方程，找

画椭圆

知性质

方程结构特征

建立恰当的坐标

找等量关系—建模

代数运算—化简

4、起点能力

学生在物理课上知道一长度大于两定点的定线段绕两个定点所形成的图形是椭圆，但缺少用数学语言表达和归纳的能力；在必修二中，学生掌握两点间距离的计算公式，具备解析几何的一些方法技巧，但代数运算能力有所不足；根据椭圆的对称性，学生具备一定的解析几何知识和数形结合的能力，可以找到恰当的坐标系

1

二、教学策略

目标、教学活动和测评在分类表中的位置

记忆

事实性知识

概念性知识

理解

目标I、问题3

认

知

过

程

运用

问题1

分析

评价

创造

问题

2、问题4、5 问题6 目标II

程序性知识

例1 目标III 练习1-4

元认知知识

问题7

三、教学过程

第一步：回忆旧知识，明确学习目标

问题1 ：请同学们回忆一下几个问题

（1）

如何画一个圆？

（2）

取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

（3）

圆的定义是什么？

（4）

如何给椭圆下定义？

从圆的定义及画法区分椭圆与圆，区分椭圆与圆的不同点，以便引出椭圆的定义

本节课的任务：（1）椭圆的定义；（2）椭圆的标准方程

设计意图：通过问题的方式，让学生快速进入上课状态；以旧知引新知，创造最近发展区，给学生一个思维的过渡期，降低难度；告知学习目标，增强有意注意。

椭圆的定义：平面内与两个定点F1 、F2

的距离之和等于常数（大于

｜F1 F2｜）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

注意: 若记常数为2a，焦距为2c,则有: 2a>2c

问题2当2a<2c,或2a=2c，分别表示什么图形？

当2a<2c时，无轨迹；当2a=2c，满足条件所成轨迹是线段F1 F2

设计意图：加深对定义关键词的理解，完成学习目标中椭圆定义的理解。

第二步：寻找恰当的坐标系，建模

问题3如何用数学语言描述椭圆的定义？

若椭圆上任一点为M，则椭圆就是集合

P{M||MF1||MF2|2a}设计意图：将文字语言转化为数学语言，用符号语言表示，为引出椭圆的标准方程做铺垫

问题4我们现在希望椭圆的定义能量化，遇到哪些问题？

答案：量化的最大问题是椭圆上的点，与两个定点，没有量化的表示方法。

设计意图：引导学生将椭圆放在平面直角坐标系中，选择恰当的坐标系建模。

问题5根据椭圆的对称性，我们的坐标系应该怎么选择？

所谓恰当的坐标系，是指已知点的坐标和直线（曲线）的方程尽可能简单，这就需要充分利2

用图形的几何特点。

答案：椭圆是具有两根对称轴的轴对称图形，这是一个很好的性质，若我们把两称轴的交点定为原点，而其他的两根对称轴就是x轴和y轴。若点(x,y)在椭圆上，则(-x,y),(x,-y),(-x,-y)均在椭圆上。不妨把对称轴落在原点上，而焦点落在x轴上。

设计意图：以形带数，数形结合，为建立标准方程做准备。

第三步：进行代数运算，得出标准方程

问题6当我们选择好恰当的平面直角坐标系，请同学们把等量关系尽可能用符号表示出来。

分析：由

P{M||MF1||MF2|2a}设椭圆上任一点M(x,y)

则

：

|MF1|(xc)2y2,|MF2|(xc)2y2

即：

(xc)2y2＋(xc)2y2＝2a

整理得到：

x2y2＋22＝1 (1)2a（a-c）

化简过程参见书本

若点M运动到y轴上方P时：

|PF1|＝|PF2|a|OF1|＝|OF2|c|PO|＝a2c2

x2y2令b|PO|＝a2c2,那么上述1就是：

a2＋b2＝1

我们称上式为椭圆的标准方程，其中(ab0)，且有a2=b2+c2

若我们选择坐标系的时候，把椭圆的焦点落在y轴上，则可得到椭圆的另一个标准方程：

y2x221 (a>b>0)2

ab我们把上述两个方程称为椭圆的标准方程。

设计意图：将定义中的文字语言转化为数学语言，用代数知识化简，得出椭圆的标准方程，完成学习目标中，椭圆的标准方程的建立。

问题7 从椭圆的标准方程中，我们可以得到图形的什么特征？

设计意图：回归对称性，对标准方程的理解。

第四步：典例剖析

例题

定义法求轨迹

已知平面上一个动点到两点A（2，0），B（-2，0）的距离和为6，求这个动点的轨迹方程.

设计意图：

有可操作的题目，让学生动起笔来，调动课堂氛围。

x2y2练习1：椭圆的方程为

125163

则（1）

a=____,b=_____,c=______;

（2）焦点在____轴上，其焦点坐标为__________,焦距为_________。

221练习2：已知椭圆的方程为

916

则（1）

a=____,b=_____,c=______;

（2）焦点在____轴上，其焦点坐标为__________,焦距为_________。

22xyxy练习3：椭圆



1

焦点坐标为

25169

练习4：椭圆

2x2+3y2=12

的两个焦点之间的距离为

设计意图：让学生尝试自己完成，检验对概念的理解。

第五步：课堂小结与作业布置

小结：椭圆的定义；标准方程及推导。

作业：书p36

1、2（必做）

3、4（选做）

设计意图：让学生知道本节课学习了什么内容，加强学习的目的性；分层的作业布置可充分调动学生的积极性，让学有余力的学生不止于此。

四、教学评价

本节课在内容的取材上，应高考常考考点，选取椭圆的定义及标准方程进行讲练。在上课的开端，以问题的形式展示，把学生带进学习的氛围当中，接着让学生思考画椭圆的方法，展现动画，引起兴趣。比较新知识与相关的原有知识的异同；运用类比，圆的定义自然而然得出，以形带数，定义的讲解把文字语言转化为数学语言，让学生在脑海中形成图式，进而得出椭圆的标准方程。过渡时的问题紧密，引起学生层层思考。

在例题讲解方面，选用书上的例1，数字简单，计算量小，使学生都能动起手来，避免有学生遇难则退，打击积极性。学生审题，进行独立思考，教师给学生思考的空间，部分学生很快就能给出正确答案。此时教师再进行讲解，纠正学生的理解误区。习题的选择上，以例题的变式为主，比较适合我班学生的学***，采用学生独立完成，之后小组讨论，最后由小组代表进行发言。调动了课堂氛围，使学生在民主、活跃的氛围中增进知识。最后一步，在作业的布置上，分层锻炼学生的能力。

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