习题2.4优质课教案

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专题一 压轴选择题

第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题

【名师综述】1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求cb22的值；在双曲线中由于e1()，故双曲线的渐近线与离心率aa密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定a，c的关系．

2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解. 3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．

常见的几何方法有：（1）直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度；（2）圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|R，最小值为|PC|R(R为圆C半径)；（3）过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径，最短的弦为过P点且与经过P点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[ac,ac]，ac与ac分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．

常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值.

【典例剖析】

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类型一

求圆锥曲线的离心率问题

x2y2典例1．【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】已知双曲线C：221a0,b0的左、右焦aba2点分别为F1,F2，

A是双曲线的左顶点，双曲线C的一条渐近线与直线x交于点P，

FM=MP，1cC的离心率为( )

且F1PAM，则双曲线A. 3

B. 【答案】C 【解析】

5

C. 2

D. 6

x2y2由题双曲线C：221a0,b0的左顶点ab

由FM

由题A（a，0），F（，0），=MP知M为线段F1P的中点，且F1PAM，可得APAF1，1c1ba2OP为渐近线方程yx，（P，yp）

aca2aba2ab（，），即为P即有a

ca，cccc22222（ca）a2b2c（ca），（c2a2）（ca）a2b2，即有a

可得caa

，即c2a，2

22ca故选C. x2y2典例2．【河南省商丘市2018届高三第一学期期末考试】设双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦abA，已知Qc,点分别为F1,F2，

F1F22c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为3a，

2欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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F2QF2A，点P是双曲线C右支上的动点，且PF1PQ范围是（

）

3FF12|恒成立，则双曲线的离心率的取值210A. 2,

B. 【答案】B 71,

C. 67106,2

D. 101,2



由F2,P,Q共线时, PF2PQ取得最小值F2Q可得3c2a即有e3a，

23a，

2c7②

a6由e>1，结合①②可得，

e的范围是1,故选：B. 【名师指点】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．

7. 6欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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一般来说，求离心率取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何关系，例如根据线段的大小关系或者角的大小关系列不等式；二是考虑代数关系，通过设点，将所给问题坐标化，结合圆锥曲线方程和本身范围来确定．

【举一反三】

x2y2【湖南省常德市2018届高三上学期检测】已知A、B分别为双曲线221(a0,b0)的左右顶点，ab两个不同动点P、Q在双曲线上且关于x轴对称，设直线AP、BQ的斜率分别为m、n，则当4b2alnmn取最小值时，双曲线的离心率为（

）

abA. 3

B. 56

C. 2

D.

22【答案】B

类型二

与圆锥曲线有关的最值问题

典例2．【甘肃省西北师范大学附属中学2016届高三校内第一次诊断】在等腰梯形，其中，以为焦点且过点中，的双曲线的离心率为2，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意e1e2都有不等式t8恒成立，则的最大值为（ ）

A. 7355

B.

C.

D.

4884【答案】C 2【解析】如图，过D作DEAB交AB于E，则AE1x，

EB1x，所以DE2xx，

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DB14x，所以e122x14x1，

,e2214x114x1所以e1e2151214x114x1，令t，则e1e2t，

因t0,，故t22214x15，选C. 8e1e25，所以t

【名师指点】抛物线定义是转化抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，通过设点的坐标并结合抛物线定义，将待求对象坐标化，同时结合抛物线方程消元，利用函数思想求解最值问题是常见的求最值方法，有时还可以几何平面几何知识求解．

【举一反三】

x2y21的左、【广西壮族自治区玉林高中2017届高三高考冲刺模拟】已知椭圆C:右顶点分别为A,B，

43F为椭圆C的右焦点，圆x2y24上有一动点P，

P不同于A,B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则kPB的取值范围是（ ）

kQF333

B. 0,,00,

C. ,10,1

D. ,00,1

444A. ,【答案】D 【解析】由题意得A2,0,B2,0,F1,0，

PAPB．

设点Q的坐标为x0,y0，则kQAkQFy0y0y02

x02x01x02x01欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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32x0123x02

．

4x02x014x01∴4x014kPB111，

kQFkQAkQF3x023x02又x02,2且x01，

∴4110或03x024111，

3x02故kPB的取值范围为,00,1．选D．

kQF类型三

平面图形与圆锥曲线相结合的问题

x2y2典例3．设双曲线C:221a0 ， 0，点M、N在双曲线C上，O是坐标 b0的左焦点为Fc

，ab原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为2cb，则双曲线C的离心率为（ ）

A．2 B．2

C. 22 D．23

【答案】D

【名师指点】求离心率问题实质上是根据已知条件，挖掘题中a,b,c的等量关系或者不等关系，可以借助平面图形自身满足的条件或者点的坐标所满足的方程或者范围等，本题利用平行四边形的性质并结合双曲线方程和平行四边形的面积公式得关于a,b,c的方程，进而确定离心率的值．

【举一反三】【安徽省黄山市2018届高三一模】已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2, P是它们的一个交点，且F1PF23，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2，则1的最大值为（

）

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A. 2343

B.

C. 2

D. 3 33【答案】A 【解析】考查一般性结论，当F1PF2时：

设PF

1m,PF2n，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的长半轴长为a2，两曲线的焦距为c，结合题意有：mn2a1,mn2a2，

两式平方相加可得：

m2n22a221a2，

两式平方作差可得：

mna221a2，

由余弦定理有：

4c2m2n22mncos，

则：

4c22a222a222221a21a2cos，

2c1cosa11cosa2，

即11cos1cossin22cos22e22，结合二倍角公式有：

212e2e21e21. 213本题中，

43，则有：

4e2e21，即11232213231，

124e14e24e214e22e1e2则1e23，当且仅当11222,2时等号成立，

1e23e1e23据此可得12e的最大值为31e23. 本题选择A选项. 【精选名校模拟】

1．【河北省张家口市2018届高三上学期期末】已知双曲线x22a2y1(a0)的左、右焦点分别为F1，离心率为233，

P为双曲线右支上一点，且满足PF221PF2415，则PF1F2的周长为（ A. 25

B. 252

C. 254

D. 234

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）

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【答案】C a2123x2232【解析】双曲线2y1a0的左、右焦点分别为F

F2，离心率为，

，1，a3a3可得a3,c2，

PF1PF22a23，① PF1PF222PF1PF2PF1PF2

2aPF1PF223PF1PF245,PF1PF225，② 由①②得PF153,PF253，

PF1F2的周长为PF1PF2F1F2425，故选C.

2．【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考】如图，直线xm与抛物线x24y交2于点A，与圆xy14的实线部分（即在抛物线内的圆弧）交于点B，

F为抛物线的焦点，则ABF2的周长的取值范围是（ ）

A. 4,6

B. 4,6

C. 2,4

D. 2,4

【答案】A 22【解析】∵圆xy14的圆心为0,1，抛物线的方程为x4y

2∴圆心与抛物线的焦点重合

∴FB2,AFyA1,AByByA

∴三角形ABF的周长2yA1yByAyB3

∵1yB3

∴三角形ABF的周长取值范围是4,6

故选A 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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x2y23．【天津市耀华中学2018届高三上学期第三次月考】已知点Fc,0(c0)是双曲线221的左焦ab点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2y2c2交于点P，且点P在抛物线y24cx上，则该双曲线的离心率的平方为（

）

A. 35

B. 25

C. 5115

D.

22【答案】D 【解析】

如图,设抛物线y24cx的准线为l,作PQ⊥l于Q, 设双曲线的右焦点为F′,P(x,y). 由题意可知FF′为圆x2y2c2的直径，

∴PF′⊥PF,且tanPFF'b,FF'2c，

ay24cx?

①222满足{xyc②

，

yb③xca22将①代入②得x4cxc0，

则x2c5c，

代入③,即y即x52c,(负值舍去) 51bcab24522,再将y代入①得, 2e1

2a(51)欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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即e2=15. 2故选D. x2y24．【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考数学（理）试题】已知椭圆221ab0的左、右abA、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，焦点分别为F1,F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于若SABC3SBCF2，则椭圆的离心率为（

）

A．531033 B． C． D．

53510【答案】A x2y25．【河北省邯郸市2018届高三1月教学质量检测】已知双曲线C:221(a0,b0)的左、右顶点ab分别为A,B，点F为双曲线C的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、三象限交双曲线C于P,Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双曲线C的离心率为（

）

A. 3

B. 22

C. 【答案】A 6

D. 2 b2b2【解析】由题意得Mc,,E0,

2aac欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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b2b200ac2ac3a,e3.

选A. 0aca6．【赣州市2017-2018年第一学期高三期末考试】已知抛物线y216x的准线与x轴交于A点，焦点是F，

P是抛物线上的任意一点，当离心率为（

）

A. PFPA取得最小值时，点P恰好在以A,F为焦点的双曲线上，则该双曲线的21

B. 221

C. 51

D. 251

【答案】B 【解析】A4,0,Px,y,则

PFPA

x4x42y2x4x42116x116x2x41116x2

,当且仅当x4时22x42取等号,此时P4,8

,所以2cAF8,2aPAPF828eB. 2c821

,选2a828x2y27．【2018福建四校联考】已知椭圆221(ab0)的上下左右顶点分别为A,B,C,D，且左右焦点ab为F1,F2，且以F1F2

为直径的圆内切于菱形ABCD，则椭圆的离心率e为（ ）

A. 1

B. 2311515

C.

D.

222【答案】D 【解析】菱形ABCD一边AD所在直线方程为xy1，即bx+ay−ab=0，

ab由题意,坐标原点O到AD的距离dabab22c，

422442整理可得c3aca0,即：

e3e10，

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解得：

e11515

(舍去)，

,e22215.

2∴椭圆的离心率e本题选择D选项.

x2y28．【2018广西贺州桂梧高中联考】过双曲线：221a0,b0的右焦点F作x轴的垂线，与ab在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于2，其中A为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ）

A. 1,3

B. 3,

C. 1,23

D. 23,

【答案】B 2FMb2b2c2aca【解析】FM，

AFca，∴kAM∴e3.e12，aAFacaacaa选B.

9．【2018陕西西安长安区联考】已知直线xyk0(k0)与圆xy4交于不同的两点A,B,O是坐标原点，且有OAOBA. 224AB，那么k的取值范围是

33,

B. 2,

C. 2,22

D. 3,22

【答案】C x2y210．【2018湖南株洲两校联考】已知双曲线E：

2﹣2=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为Eba上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（

）

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A. 2

B. 3

C. 2

D. 5

【答案】B P关于原点的对称点为Q

【解析】由题意可知：双曲线的右焦点F1，由则OPOQ

四边形PFQF1为平行四边形

则PF1FQ,PFQF1

由PF3FQ，根据椭圆的定义PFPF12a

PF1a,OPb,OF1c,

OPF190

在

OPF1中，

PQ2b,QF13a,PF1a

222则2ba3a，整理得b22a2

cb2则双曲线的离心率e123

aa

故答案选B

x2y2A在椭圆11．【2018山西名校联考】已知椭圆221的左、右焦点分别为F1,F2，且F1F22c，点ab上，

AF1F1F20，

AF1AF2c，则椭圆的离心率e（ ）

2A. 3

B. 331

C. 2512

D.

22【答案】C 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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b2b2b2【解析】由于AF，

F1c,0,F2c,0，

AF10,,AF22c,

1FF120，则Ac,aaab4152，

AF1AF22c

，

b2ac

，

a2c2ac，

1e2e

，

e2e10

，

e

，

a20e1

，则e51

，选C.

2的焦点为，准线，则

的面积为（ ）

，点在抛物线上，点在12．【2018河南名校联考】已知抛物线左准线上，若A.

B. ，且直线

C. 的斜率

D. x2y213．【2018江西南昌摸底】已知双曲线C:221(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,

P为双曲线Cab上第二象限内一点，若直线yA. bx恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为

（ ）

a2

B. 3

C. 5

D. 6

【答案】C 11bmcbna，【解析】设F2c,0，渐近线方程为yx，对称点为Pm,n，即有且n，amcb22aa2b22ab2a2c22aba2b22ab,,,n解得m，将P，即，代入双曲线的方程可得cccccc2a

2c22a2c24a2b2c2221，化简可得241，即有e2=5，解得e5，故选C．

cba欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

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