习题2.4教学评价实录

梳理抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦。设Ax1,y1,p2；（2）y1y2p2 Bx2,y2，则（1）x1x24证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

p2p依题意x1x2,x1x2

24A

y

x

o

B

F p若AB的斜率存在时，设为k,则AB:ykx，与y22px联立，得

2pk2p22222kx2pxkxk2px0

242p2p2x1x2. 综上：x1x2.

44yy（2）x11,x22，y12y22p4y1y2p2,

2p2p但y1y20,y1y2p2

（2）另证：设AB:xmyp与y22px联立，得

222y22pmyp20,y1y2p2

知识点2：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦。设Ax1,y1,Bx2,y2，则（1）ABx1x2p（设直线AB的倾斜角为，则AB;2）证明：（1）由抛物线的定义知

ppAFx1,BFx2,

222pnisA

2。

y

ABAFBFx1x2p

（2）若900,则x1x2p2p,由（1）知AB2p

2sin2o

B

F p若900,设AB:ykx,与y22px联立，得

2

1

pk2p22222kx2pxkxk2px0

242pk222pk21x1x2,ABx1x2p，而ktan，

22kk2p1tan22pAB

22tansin知识点3：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

y

证明：过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为

A

A1、B1,过AB中点M向准线引垂线，垂足为N,

设以AB为直径的圆的半径为r,

2rABAFBFAA1BB12MNMNr.o

B

F

以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

知识点4：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦。过点A、B分别y

向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1、B1,则A1FB190。

证明借助于平行线和等腰三角形容易证明

0A

o

B

F 知识点5：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，抛物线的准线与x轴相交于点K，则AKFBKF.

y

证明：过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1.

A

AA1//KF//BB1

AKAF1而AFA1A,BFB1B

B1KFBK

o

B

F A1KA1AAKBK 11，而AA1KBB1K900

B1KB1BA1AB1BAA1K∽BB1K A1KAB1KB

2

AKFBKF

知识点6：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，o为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点C,则BC//OF.

y

证明：设Ax1,y1,Bx2,y2，则

A

py1py

AB:y1x,C,x122x1y1py1pp2

yC22x1y1y212po

C

B

F p2由知识点1知y1y2p yCy2 BC//OF

2py22逆定理：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，过点B作BC//OF交抛物线准线于点C,则A、C、O三点共线。

证明略

知识点7：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，设y

AFm,BFn,则

112.

mnpA

F o

B

证法：（1）若ABx轴，则AB为通径，而AB2p,

mnp 112.

mnp（2）若AB与x轴不垂直，设Ax1,y1,Bx2,y2，AB的斜率为k，则pl:ykx22与y22px联立，得pk2p22222kx2pxkxk2px0

24

3

pk22p2x1x2,x1x2.

24k由抛物线的定义知mAFx111mnmnmnpp,nBFx2

22x1x2p2

ppp2x1x2x1x224知识点8：已知抛物线y22pxp0中，AB为其过焦点F的弦，AFm,BFn,则

SAOBp24nm

mny

A

F 证明：设AFx,则

o

B

SAOBSAOFSBOF

1p1pmsinsin2222

pmnsin4ppp2p2而m

,n,mn,sin21cos1cosmnsinSAOBpp2p2nm.

mn4mn4mn逆定理：已知抛物线y22pxp0中，AB为其弦且与x轴相交于点M，若AMm,BMn,且SAOBp24nm,则弦AB过焦点。

mn证明：设Ax1,y1,Bx2,y2，AMx,Mt,0，则

111SAOBSAOMSBOM=tmsintnsinmntsin

222而siny1m,siny2n,

sin2y1y2

mn

4

siny1y2

mn1mnty1y21mnty1y2

2mn2mnnp2m1mnp2mn2mn2 ty1y22①

SAOB而SAOBp24又可设l:xayt2y2pay2pt0 y1y22pt②

2y2pxp

2由①②得tAB恒过焦点p,0

2例1、过抛物线y24x的焦点做直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1x26，那么AB 8 变式：过抛物线y24x的焦点做直线交抛物线于A,B两点，如果AB8，O为坐标原点，则OAB的重心的横坐标是 2

例2、直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA',BB'，垂足分别为A',B'，如果A'B'a，Q为A'B'的中点，则QF a （用a表示）

2变式：直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA',BB'，垂足分别为A',B'，如果ARa,BFb，Q为A'B'的中点，

a2b2则QF （用a,b表示）

2

例3、设坐标原点为O，过焦点的直线l交抛物线y24x于A,B两点，OAOB -3

5

例4、过抛物线y2ax(a0)的焦点F作一直线

A´y(x1,y1)交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别

114是p,q，则

apqxB´(x2,y2)

小结： （1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；

（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.

6