1.2.1 充分条件与必要条件优秀教案板书设计

1.2.1充分条件与必要条件（第1课时）

一、教学目标

（一）学习目标

1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；

2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；

3．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性．

（二）学习重点

充分条件、必要条件的概念．

（三）学习难点

充分条件、必要条件的判断．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）充分条件：如果p⇒q，则p叫做q的_________条件，原命题（或者逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的_________条件．

（2）必要条件：如果q⇒p，则p叫做q的_________条件，逆命题（或者否命题）成立，命题中的条件是必要的，也可称q是p的_________条件．

预习自测

1．用符号“”与“”填空：

（1）

x2y2

xy；

（2）

内错角相等

两直线平行；

（3）

整数a能被6整除

a的个位数字为偶数；

（4）

acbc

ab. 【知识点】充分条件的判断．

【解题过程】







．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

【答案】









．

2．下列“若p，则q

”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x23x40；

（2）若f(x)x，则f(x)在(,)上为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数．

【知识点】充分条件的判断．

【数学思想】

【解题过程】（1）（2）显然成立；（3）中若x2为无理数，而x22为有理数．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

【答案】（1）（2）．

3．下列“若p，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

（2）若x5，则x10．

【知识点】充分条件的判断．

【数学思想】

【解题过程】（1）中斜率相等的直线可能平行或重合；（2）显然不成立．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

【答案】（1）（2）中p都不是q的充分条件．

4．下列“若p，则q

”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若xy，则x2y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；

（3）若ab，则acbc．

【知识点】必要条件的判断．

【数学思想】

【解题过程】q是p必要条件等价于p是q的充分条件．（1）（2）显然成立；（3）a0，b0时不成立．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

【答案】（1）（2）．

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）四种命题的表示形式；

（2）四种命题的关系；

（3）四种命题的真假判断．

2．问题探究

探究一

结合实例理解充分条件与必要条件

●活动①

创设情境，引入概念

写出下列两个命题的条件和结论，并判断它们的真假．（抢答）

（1）若x>10，则x>5；

（2）若x+y>2，则x>2．

学生很快就可以回答命题的条件和结论并判断出（1）真（2）假．

问题：对于“若p则q”形式的命题，时真时假，如何判断它的真假呢？

答：若p能推出q，则为真命题，若p不能推出q，则为假命题．

【设计意图】通过强调命题的条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫，命题有真有假．通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程．

●活动②

概念辨析，巩固概念

当命题“如果p，则q”经过推理证明为真命题时，我们就说由p可以推出q，记作“p⇒q”，读作“p推出q”

．

定义：一般地，如果有p⇒q，称p是q的充分条件，称q是p的必要条件．

例如活动①中的例子“若x>10，则x>5”是一个真命题，则可以写成“x>10⇒x>5”．所以x>10是x>5的充分条件，x>5是x>10的必要条件．

强调说明：“p⇒q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示．

【设计意图】通过概念辨析，加深对充分条件、必要条件的理解，提升学生的认识水平，从不同角度帮助学生理解“充分”和“必要”．

●活动③

例题剖析．

例1 判断下列问题中，p是q的充分条件吗？

（1）p：a>b

q：ac>bc；

（2）p：x为无理数

q：x2为无理数；

（3）p：xa2b2

q：x>2ab；

（4）p：两条直线的斜率相等

q：两条直线平行．

【知识点】充分条件．

【解题过程】（1）（2）（3）（4）中p不能推出q，所以p不是q的充分条件．

【思路点拨】判断p是否是q的充分条件，就看p能否推出q．

【答案】（1）（2）（3）（4）中p不能推出q，所以p不是q的充分条件．

同类训练

指出下列各组题中，p是q的什么条件？

（1）p：x1

q：x2；

（2）在四边形中，p：

四个角均为90

q：四边形为正方形．

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】（1）x1x2

pq

又因为对于q：x2也成立，但对于p：21不成立

qp

所以p是q的充分条件．

（2）四边形为长方形时，p四边形为正方形时，四个角均为90，即qp

q；所以p是q的必要条件．

【思路点拨】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式，以全面认识和理解概念．

【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p是q的必要条件．

探究二

充分条件、必要条件的判定

●活动①

知识点归纳

从集合的角度理解充分条件与必要条件：设集合Px|p(x)|，Q=x|q(x)．

（1）pq，相当于PQ，即

或

即：要使xQ成立，只要xP就足够了．

（2）qp，相当于QP，即

或

即：为使xQ成立，必须要使xP．

可以归纳为以下两点：

（1）若PQ，则p是q的充分条件．

（2）若QP，则p是q的必要条件．

【设计意图】（1）强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；（2）从集合关系的角度帮助同学们理解“充分条件”和“必要条件”；（3）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（4）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备．

●活动②

例题剖析．

例2判断下列各组问题中，q是p的必要条件吗？

（1）p：x|x3

q：x|x5；

（2）p：x|x0

q：x|x0；

（3）p：同位角相等

q：两直线平行；

（4）p：四边形对角线相等

q：四边形是平行四边形．

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】因为在（2）（3）中都有pq，所以，（2）（3）中q是p的必要条件．在（1）（4）中都有p（4）中q不是p的必要条件．

q，所以，在（1）【思路点拨】

由集合的包含关系确定q与p的关系．

【答案】（2）（3）：q是p的必要条件；（1）（4）：q不是p的必要条件．

同类训练

判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件？p是不是q的必要条件？

（1）p：xx

q：x20；

（2）p：tan1

q：=4；

（3）p：直线l与平面内的两条相交线垂

q：直线l与平面垂直；

（4）p：函数f(x)满足f(0)0

q：函数f(x)是奇函数．

【知识点】充分条件、必要条件．

【解题过程】（1）pq，qp；

（2）pq，qp；

（3）pq，qp；

（4）pq，qp．

【思路点拨】由集合的包含关系确定q与p的关系．

【答案】（1）p是q的充分条件，p不是q的必要条件；

（2）p不是q的充分条件，p是q的必要条件；

（3）p是q的充分条件，p是q的必要条件；

（4）p不是q的充分条件，p是q的必要条件．

3.

课堂总结

知识梳理

1．充分条件、必要条件的定义；

2．充分条件和必要条件的判定．

重难点归纳

判断充分条件、必要条件时，一定要牢记：在“若p则q”中，若pq，则p是q的充分条件，q为p的不必要条件．

（三）课后作业

基础型

自主突破

1．在△ABC中，“sin 2A＝3”是“A＝30°”的________条件．

2【知识点】充分条件、必要条件．

【数学思想】

【解题过程】若A＝30°，显然有sin 2A＝33，但sin 2A＝时，在△ABC中，223”是“A＝30°”2有2A＝60°或2A＝120°，即不一定有A＝30°，故“sin 2A＝的必要不充分条件．

【思路点拨】熟悉充分、必要条件的形式．

【答案】必要不充分条件

2．“(x1)(x3)0”是“x1”的________条件．

【知识点】充分条件、必要条件及不等式的解法．

【数学思想】

【解题过程】(x1)(x3)0错误！未找到引用源。等价于1x3，因此“(x1)(x3)0”是“x1”的充分不必要条件．

【思路点拨】

熟悉充分、必要条件的形式．

【答案】充分不必要条件

3．已知a,bR，则下列四个条件中，使ab成立的必要条件是（

）

A. ab1

B. a3b3

C.ab

D. ab1

【知识点】充分条件、必要条件．

【数学思想】

【解题过程】A. 若ab1，则ab成立，反之不成立，所以ab1是ab的充分不必要条件；

B.a3b3成立，则ab成立，反之也成立，所以a3b3为ab的充要条件；

C.ab是ab成立的既不充分也不必要条件；

D.若ab成立，则ab1一定成立，反之不成立,所以ab1为ab的必要不充分条件．

【思路点拨】

熟悉充分、必要条件的形式．

【答案】D

4．设错误！未找到引用源。是两个单位向量，其夹角为，则““错误！未找到引用源。”的________条件．

63”是【知识点】平面向量的数量积运算以及充分条件、必要条件的判定．

【数学思想】

【解题过程】因为错误！未找到引用源。是两个单位向量，其夹角为，所以ab1的充要条件是112cos1，即0子集，所以“，因为(,)是(0,)的真363363”是“错误！未找到引用源。”的充分不必要条件．

【思路点拨】判定与数集有关的充分条件和必要条件时，往往转化成判定数集间是否存在包含关系，即利用“小范围是大范围的充分不必要条件”进行判定．

【答案】充分不必要条件

5．B={x|-1+a

【知识点】充分条件、必要条件的判定．

【数学思想】

1a4【解题过程】由题意，知A={x|1

【思路点拨】集合之间的相互包含关系．

【答案】条件充分不必要

6．在ABC中，“sinAsinBcosBcosA”错误！未找到引用源。是“AB”的________条件．

【知识点】充分条件、必要条件的判定．

【数学思想】

【解题过程】在ABC中，当A=B时，sinAsinBcosBcosA显然成立，即必要性成立；当sinAsinBcosBcosA时，则sinAcosAsinBcosB，两边平方可得sin2Asin2B，则AB或AB4，即充分性不成立．

【思路点拨】由sin2Asin2B解得AB或AB【答案】必要不充分条件

能力型

师生共研

4，勿忽略AB4的情况．

7．若不等式x1a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围_______. 【知识点】充要条件．

【数学思想】

【解题过程】x1a，即1axa1；即1axa1的充分条件是0x4，所以a14，解得a3．

【思路点拨】解绝对值不等式．

【答案】3,

8．条件p:xa(a0)，q:x2x60，若p是q的充分条件，则a的取值范围是

. 【知识点】充分性与必要性的判断、二次不等式与绝对值不等式的解法．

【数学思想】

【解题过程】由xaaxa，由x2x602x3，因为p是q的a2充分条件，所以，所以0a2．

a3【思路点拨】解二次不等式与绝对值不等式．

【答案】0,2

探究型

多维突破

9．已知集合Ax|x5，集合Bx|xa，若命题“xA”是命题“xB”的充分条件，则a的取值范围是_________. 【知识点】充分条件与必要条件、集合间的基本关系．

【数学思想】

【解题过程】因为命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，所以集合A是集合B的子集，所以a5．

【思路点拨】因为命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，所以集合A是集合B的子集．

【答案】(,5)

10．已知ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c，则“abc2”是“C3”的

条件.(“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”) ．

【知识点】充分必要条件，余弦定理．

【数学思想】

【解题过程】充分性：abc2，所以a2b22ab2c2，所以由余弦定理得1；而C为ABC的内角，所以C，所以充分性成立；

231必要性：C，所以cosC；由余弦定理可得c2ab(ab)2，但推不出32cosCabc2；所以必要性不成立．

【思路点拨】余弦定理的应用．

【答案】充分非必要

自助餐

1．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的_____条件. 【知识点】充要条件的判定．

【数学思想】

【解题过程】由于向量a、b都是非零向量，且a·b<0，可知夹角为钝角或者是平角，因此条件不能推出结论，不是充分条件；而由a与b夹角为钝角能得到a·b<0，则说明结论能推出条件，可知条件是结论成立的必要不充分条件．

【思路点拨】向量的数量积．

【答案】必要不充分

2．设p:2x1m(m0)，q:的取值范围为

. 【知识点】充分必要条件．

x10，若p是q的充分不必要条件，则实数m2x1

【数学思想】

1mm11；q等价于x1或x．

x222m111m∵p是q的充分不必要条件，∴或1，解得m2．

222【解题过程】由题意知p等价于∴实数m的取值范围为（0，2]．

【思路点拨】解不等式．

【答案】（0，2] 3．已知p:x22x30，若－a＜x－1＜a是p的一个必要不充分条件，求使a＞b恒成立的实数b的取值范围．

【知识点】充分条件与必要条件、集合间的基本关系．

【数学思想】

【解题过程】由于p:x22x301x3；

－a＜x－1＜a1ax1a1ax1a(a0)

依题意，得x|1x3x|1ax1a(a0)

1a11a3，解得a＞2，

2a4则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．

【思路点拨】恒成立问题转化为最值问题．

【答案】(－∞，2] 4．已知命题p:x28x200，q:x22x1m20(m0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【知识点】充分条件与必要条件、集合间的基本关系．

【数学思想】

【解题过程】由p:x28x200x2或x10，即命题p对应的集合为P＝{x|x＜－2或x＞10}；

由q:x22x1m20(m0)[x(1m)][x(1m)]0(m0)

x1m或x1m

即命题q对应的集合为Q＝{x|x＜1－m或x＞1＋m，m＞0}，因为p是q的充分不必要条件，知P是Q的真子集．

m0故有1m2解得0m3，所以实数的取值范围是(0，3]．

1m10【思路点拨】p是q的充分不必要条件，知P是Q的真子集．

【答案】(0，3] 115．命题p:x0，y0，命题q:xy，，则p是q的什么条件？

xy【知识点】充分必要条件．

【数学思想】

11【解题过程】p:x0，y0，则q:xy，成立；

xy11xy0，反之，由xy，因yx0，得xy0，即x，y异号，又xy，xyxy得x0，y0．所以p是q的充要条件．

【思路点拨】不等式的性质．

【答案】p是q的充要条件

2x(a2)6．集合A{x|(x1)(x2a3)0}，函数ylg

的定义域为集合B．2ax(1)若a1，求集合AICRB；

(2)已知a1且“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【知识点】充分必要条件，集合的基本运算．

【数学思想】

【解题过程】(1)若a1，则集合A{x|(x1)(x5)0}1,5，

集合B{x|x3x30}{x|0}2,3；

2xx2

所以CRB,23,；

所以AICRB=1,2U3,5．

(2)因为a1，所以A{x|(x1)(x2a3)0}=(1,2a3)；

x(a22)x(a22)B{x|0}{x|0}2a,a22；

2axx2a又因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，所以BA；

2a11可得：2，解得：a21．

2a22a3【思路点拨】集合的基本运算．

1【答案】a21

2