画树状图求概率国家优质课一等奖

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教材分析

《用列举法求概率》

概率的内容对初中学生来说虽然比较抽象，但其中包含丰富的辩证思想，而且在现实生活中有着非常广泛的应用。本节教材在上一节的基础上，继续研究用列举的方法求随机事件的概率。相比上一节，本节的三个例子相对复杂些，试验中每一种结果都包含两个或两个以上的结果。当试验结果比较复杂时，采用列表格或画树状图的方法来帮助梳理列举的思路，这样更有利于不重不漏地列举出所有试验的结果。

对于有序地不重不漏地列举所有可能出现的结果，分类的意识至关重要，这种意识是研究古典概率的一种常用思维方式。学生在学习本节课之前，已经对事件的可能性有了初步的认识，并且能够计算简单事件发生的概率。但是，真正列举事件的所有可能的结果，学生并没有形成直接的经验，在教学过程中要尽量鼓励和引导学生主动探究和构建知识结构，利用分类的方法有序地列举，亲身经历列表和画树状图这两种方法的形成过程，并在应用中逐渐加深理解。

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教学目标

【知识与能力目标】

1、能够运用列举法（列表、画树状图）计算随机试验中事件发生的概率；

2、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题。

【过程与方法目标】

通过用列举法求事件的概率，渗透转化的思想方法，培养学生分析、判断的能力。

【情感态度价值观目标】

通过分析探究事件的概率，提高运用数学知识解决实际问题的意识，体验数学的应用价值。

【教学重点】

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教学重难点

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运用列举法（列表、画树状图）计算随机试验中事件发生的概率。

【教学难点】

有序地列举所有可能发生的结果并把结果直观地呈现出来。

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课前准备

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多媒体课件、教具等。

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教学过程

一、创设情境，引入新课

问题1

回答下列问题，并说明理由。

（1）掷一枚硬币，正面向上的概率是_______；

（2）袋子中装有

5 个红球，3 个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机出一个球，它是红色的概率为________；

（3）掷一个骰子，观察向上一面的点数，点数大于

4 的概率为______。

小结：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举法试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法。

设计意图：问题1通过复习概率的意义及如何求简单试验中事件发生的概念，由此引入列举法，为探究列表法作好了铺垫。

二、探索发现，形成新知

问题2

学校举行庆祝“元旦”联欢晚会，晚会现场，主持人设计了一个转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。

追问1：对于转盘A，可能会出现哪几种情况？对于转盘B，又会出现几种情况呢？

A盘——指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个。

B盘——指针可能指向4，5，7三个数字中的任意一个，可能出现的结果也会有3个。

追问2：如果转盘A的指针指向数字是1，转盘B的指针所指的方向可能会出现几种情况？如果转盘A的指针指向数字是6或8，转盘B的指针所指的方向又会怎样的情况呢？

当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，即有3种结果；同样，当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，即分别有3种结果。

追问3：你知道两个转盘转动时，一共会有多少种可能的结果？你能通过表格的形式列举出来吗？

一共会产生9种不同的结果。列表如下：

B

4 5 7 A

1 （1，4）

（1，5）

（1，7）

6 （6，4）

（6，5）

（6，7）

8 （8，4）

（8，5）

（8，7）

追问4：从表格上可以看出A盘数字大于B盘数字的结果共有多少种？由此判断谁获胜的机会较大？

从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。

∴

P(A数较大)=的获胜可能性较大。

追问5：除了利用表格的方式来求概率，我们还有其他的列举方法吗？

由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ盘，可能出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动B盘，可能出现4，5，7三种结果。

54，P(B数较大)=。

∴

P(A数较大)＞P(B数较大)。∴

选择A装置99

由图知，可能的结果为：（1，4），（1，5），（1，7），（6，4），（6，5），（6，7），（8，4），（8，5），（8，7），共计9种。

∴

P(A数较大)=54，P(B数较大)= 。

∴

P(A数较大)＞

P(B数较大)。∴

选择A装99置的获胜可能性较大。

追问6：观察所画图形，若将图形倒置，你会联想到什么？

这个图形很像一棵树，所以称为树形图。

列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。

三、运用新知，深化理解

例1：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：

（1）两枚硬币全部正面向上；

（2）两枚硬币全部反面向上；

（3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上。

解：列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正反，反正，反反。所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等。

第2枚

第1枚

正

反

正

正正

正反

反

反正

反反

（1）所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上(记为事件A)的结果只有1种，即“正正”，所以P(A)＝1。

4（2）两枚硬币全部反面向上(记为事件B)的结果也只有1种，即“反反”，所以P(B)＝1。

4（3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上(记为事件C)的结果共只有2种，即“反正”“正反”，所以P(C)＝21。

42总结：用列举法求概率的使用条件，即“结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等”。

例2：

同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1）两枚骰子的点数相同；

（2）两枚骰子点数的和是9；

（3）至少有一枚骰子的点数为2。

解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，可以用下表列举出所有可能出现的结果。

第1枚第2枚

1 2 3 4 5 6 1 （1，1）

（2，1）

（3，1）

（4，1）

（5，1）

（6，1）

2 （1，2）

（2，2）

（3，2）

（4，2）

（5，2）

（6，2）

3 （1，3）

（2，3）

（3，3）

（4，3）

（5，3）

（6，3）

4 （1，4）

（2，4）

（3，4）

（4，4）

（5，4）

（6，4）

5 （1，5）

（2，5）

（3，5）

（4，5）

（5，5）

（6，5）

6 （1，6）

（2，6）

（3，6）

（4，6）

（5，6）

（6，6）

由上表可以看出，同时掷两枚骰骸子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等。

（1）两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种(表中的红色部分)，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，所以P(A)＝61。

366（2）两枚骰子的点数和是9(记为事件B)的结果有4种(表中的阴影部分)，即(3，

6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，所以P(B)＝41。

369（3）至少有一枚骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种(表中蓝色方框部分)，所以P(C)＝11。

36思考：如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变化吗？为什么？

“同时掷两枚质地均匀的骰子”和“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果没有

区别。

总结：当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法；当实验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析。

运用列表法求概率的步骤如下：（1）列表；（2）通过表格计数，确定公式P(A)＝m和n的值；（3）利用公式P(A)＝m中nm计算事件的概率。

n例3：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从三个口袋中各随机取出1个小球。

（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少? （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？

分析：当一次试验是从三个口袋中取球时，即涉及到3个因素。此时，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法。

解：根据题意，可以画出如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即

这些结果出现的可能性相等。

（1）只有1个元音字母的结果(红色)有5种，即ACH、ADH、BCI、BDI、BEH，所以P(1个元音)＝541。有2个元音字母的结果(绿色)有4种，所以P(2个元音)＝。全部121231。

1221。

126为元音字母的结果(蓝色)只有1种，所以P(3个元音)＝（2）全是辅音字母的结果共有2种，所以P(3个辅音)＝归纳：当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。

运用树形图法求概率的步骤如下：（1）画树形图；（2）列出结果，确定公式P(A)＝中m和n的值；（3）利用公式P(A)＝mnm计算事件概率。

n

思考：（1）到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？

（2）列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？

四、学生练习，巩固新知

练习1

经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：

（1）三辆车全部继续前行；

（2）两辆车向右转，一辆车向左转；

（3）至少有两辆车向左转。

练习2

在6张卡片上分别写有1——6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？

练习3

一个袋子中装有2个红球和2个黄球，任意摸出一球，记录颜色放回，再任意摸出一球，记录颜色放回，求两次都摸到红球的概率是多少？

练习4

某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白、蓝三条长裤，该人任意拿一件衬衫和一条长裤，求正好是一套白色的概率。

五、课堂小结，梳理新知

今天你学习了什么，有什么收获？

运用列表法求概率的步骤如下：（1）列表；（2）通过表格计数，确定公式P(A)＝m和n的值；（3）利用公式P(A)＝m中nm计算事件的概率。

n当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法求概率的步骤如下：（1）画树形图；（2）列出结果，确定公式P(A)＝利用公式P(A)＝m中m和n的值；（3）nm计算事件概率。

n六、布置作业，优化新知

1、教科书习题25.2第1题，第2题，第3题；（必做题）

2、教科书习题25.2第5题，第6题，第8题。（选做题）

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教学反思