正方形优秀教学设计

泰州市渔行实验学校备课笔记 九 年级

数学 学科 课题: 特殊四边形——正方形中含半角问题 授课时间：45分钟 总第___28___ 课时

【教学目标】

1.

掌握正方形的性质和判定定理；

2.

利用正方形的相关性质和定理解决正方形中的含半角模型；

3.

根据正方形中的含半角问题解决相应变式问题及综合应用问题；

4.

利用旋转的相关性质探索含半角问题的解决方法，以及添加辅助线方法

【教学重点】

1.

利用正方形的性质解决正方形中含半角问题；

2.

正确理解图形变换——旋转的性质，并利用旋转的方法解决含半角问题；

3.

含半角问题在平面直角坐标系中的应用

【教学难点】

1.

利用旋转的方法解决含半角问题；

2.

由正方形含半角问题

【教学方法】

1.

动手操作，合作探究

2.

利用几何画板进行动画演示

【教学过程】

活动一：小题练手

1.若正方形的面积为18，则它的边长为 ，对角线为 ，周长为 ．

2.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为 ．

3.如图，正方形ABCD的边长为1，CE平分∠ACD，交BD于点E，则DE=

4.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 。

设计意图：前四题为课前准备，这四题为正方中简单的应用问题，涉及到边、角、面积，结

1

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数学 学科 合正方形的性质解决相关问题，增强学生对正方形相关性质和判定的理解和应用。

5.如图，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN的两边分别交边CB、DC于点M、N，且BM=DN=2，则MN= 。

设计意图：为接下来的含半角问题做铺垫。不过考虑到这道题的特殊性，解决方法很多，如利用三角形全等证明MN=BM+DN。一般情况下，学生是想不到旋转来说明三条线段的关系的，此时可以考虑做指导和提醒。

活动二：探究活动

本节课研究的主要问题为正方形中含半角的几何模型，并从正方形的含半角问题进行变形和拓展推广。

变式1：若∠MAN绕着点A旋转，BM≠DN，试说明BM、DN、MN之间的数量关系吗？

设计意图：当∠MAN在∠BAD内旋转的过程中还能用证明三角形全等来说明MN=BM+DN吗？此时可以利用旋转的思想将△AND绕着点A逆时针旋转90°，目的将∠DAN与∠BAM合并在一起，通过全等得到三线段之间的数量关系。

变式2：若∠MAN绕着点A旋转，∠MAN的两边分别交边CB、DC的延长线于点M、N，你能说说此时BM、DN、MN之间的数量关系吗？

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设计意图：当∠MAN旋转到∠BAD外时，是否还存在变式1中的结论？再一次引导学生利用旋转的思想解决问题。指导学生正确理解旋转的方法，并学会正确添加辅助线和语言表述。利用几何画板的变换增强学生的理解。

活动三：变式练习

1.在平面直角坐标系中，已知点P（3,3），两坐标轴的正半轴上分别有M、N两点，且sinP=

，则△MON的周长为 。

2.在平面直角坐标系中,边长为3的正方形OABC的两顶点A. C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点。现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图).在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长为___. 设计意图：将正方形中含半角问题融合到平面直角坐标系中，理解了模型，可以直接利用结论解决问题，这里第一题中有一个隐含的正方形，第二题中有一个隐含的45°，不仅要记住结论，其实更重要的是理解含半角问题的解决方法。

活动四：含半角问题在其他几何图形中的应用

变式3：如图，连接BD分别交AM、AN于点E、F，尝试探究BE、DF、EF之间的数量关系。

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设计意图：结合前两题的解决的方法思考变式3，可以将图形独立开来看，其实是等腰直角三角中的含半角问题，此时学会利用图形旋转的思想解决问题，找出相应线段间的数量关系。建议小组合作解决问题。

活动五：题型延伸

1.已知△ABC是边长为1cm的等边三角形,以BC为边作等腰三角形BCD,使得DB=DC,且∠BDC=120∘,点M是AB边上的一个动点,作∠MDN交AC边于点N,且满足∠MDN=60∘，则△AMN的周长为___. 2.如图,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=2∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想。

设计意图：这部分内容更适合班级优等生，在掌握了正方形含半角问题后，学会尝试解决其他图形中的含半角问题，真正理解旋转在这类问题中起到的作用。

【作业布置】

1.

课题作业：独立练习

2.

课后练习：高效练习，分层练习

3.

如图,在△ABC中,∠BAC=45°，AD⊥BC于D点，已知BD=6，CD=4，求高AD的长。（你有几种解决方法）

【课后反思】

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