小结优质公开课教案

《一元二次方程复习》教学设计

北川羌族自治县西苑中学

周晓莉

一、教材分析

（一）教材所处的地位

一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位．实数与代数式的运算、一元一次方程是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，可以对上述内容加以巩固。

（二）考纲要求

1、了解一元二次方程及其相关概念，掌握一元二次方程的一般形式，在经历具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程（数字系数）。. 2、经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会一元二次方程是刻画现实生活中数量关系的一个有效数学模型.。

3、通过解一元二次方程和列一元二次方程解应用题的过程中体会转化等数学思想方法的运用.。

（三）教学目标

知识与技能：使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式；

数学思考：通过让学生经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

问题解决：通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展学生多角度思考问题的方法. 情感态度：通过对一元二次方程的教学，激发学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。

（四）教学重点：一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法以及列一元二次方程解决实际生活中的问题；

教学难点：列一元二次方程解决实际问题和转化思想方法的运用。

二、教法与学法分析：

教法分析：针对九年级学生复习时的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索归纳法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，归纳总结。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：总体感知—分类探讨—问题解决—课堂小结—布置作业五部分。

学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，回顾和获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

三、教学过程

（一）、夯实基础

考点知识梳理

考点1、一元二次方程的定义

只含有 ，并且未知数的最高次数是____，这样的整式方程叫做

一元二次方程．通常可写成如下的一般形式： ，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．

考点2、一元二次方程的常用解法

首先考虑 ， ；其次考虑 ， ．

求根公式公式：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式： ．

考点3、一元二次方程根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：

(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个 的实数根；

(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个 的实数根；

(3)b2－4ac＜0⇔方程 实数根．

考点4 、一元二次方程根与系数之间的关系

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝____，x1x2＝____. 考点5、用一元二次方程解决实际问题

类型

（1）面积（体积）问题；

（2）增长率问题；

步骤

（3）经济问题；

（1）审（2）设（3）列

（4）运动问题；

（4）解（5）验（6）答

（二）、归类探究，考点呈现

考点1：一元二次方程的定义以及解法

m22【例1】(1)、若方程 (m2)x(m1)x20是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

(2)、说出解下列方程的方法：

①25(2x－1)2＝9；

②3x2＋6x－1＝0；

③x(x－1)＋2(x－1)＝0. ④(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0；

【点评】

解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法或配方法．

对应训练：

m2x2m2x20是关于x的一元二次方程则m 。 1、若

2.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 3、写出一个根为2，另一个根为5的一元二次方程 。

4、已知一元二次方程x2=2x 的解是 ________。

考点2

：配方法

22【例2】

用配方法把代数式3x－2x－2化为a(x＋m)＋n的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．

【点评】

(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别．

对应训练：

2．(1)(2014·聊城)用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可变形为( )

b2b－4acb24ac－bA．(x＋)＝

B．(x＋)＝

2a4a22a4a2b2b2－4ab24ac－b2C．(x－)＝ D．(x－)＝

2a4a22a4a2(2)对于二次三项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法？说明你的理由．

考点3：一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系 【例3】

（1）(2014·深圳)下列方程没有实数根的是( ) A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0 C．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝12 2【点评】

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根，反之亦然．

（2）已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1＋x2－x1·x2的值为(

) A．－7

B．－3

C．7

D．3 对应训练：

3．(1)(2014·内江)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是( ) 1111A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 2222(2)(2014·十堰)已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0. ①若方程有实数根，求实数m的取值范围；

②若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值．

考点4、与几何问题的综合

【例4】

(1)已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．

（2）(2013·铁岭)如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是( ) A．5.5

B．5

C．4.5

D．4

考点5：用一元二次方程解决实际问题 【例5】(1)在长为40m，宽为30m的矩形绿地内铺设三条宽度相等的甬道，使其中2两条与AB平行，一条与BC边平行，使得绿化面积为750m，求这条人行道的宽度？

D A

(2)某超市9月份的利润为25000元，要使11月份的利润达到36000元，平均每月的增长率是多少？

【点评】基数a、增长（降低）后总量b、增长（降低）率x、n增长（降低）次数之间的关系a(1+x)n=b B C （三）、中考回顾

22

1、(2013·绵阳)已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x23kx80，则△ABC的周长是 。

2、（2015•绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n2= ．

3、(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( ) A．x1小于－1，x2大于3 B．x1小于－2，x2大于3 C．x1，x2在－1和3之间

D．x1，x2都小于3 4、（2014泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（

）

A．（3+x）（4﹣0.5x）=15

B．（x+3）（4+0.5x）=15

C．（x+4）（3﹣0.5x）=15

D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

（四）拓展延伸

已知关于x的方程x2－(k+1)x+ k2+1=0,根据下列条件，分别求出k的值。

（1）方程两实数根的积为5； 1

（2）方程的两实数根x1,x2满足︱4x1︱=x2

（五）、课堂小结

通过今天的学习你有什么收获或感受？

（六）、作业布置：

1、画出本章的知识结构图或知识树

2、终结性练习

（七）、板书设计： 一元二次方程复习

考点1、一元二次方程的定义以及解法

考点2、配方法

考点3、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系

考点4、与几何问题的综合

考点5、用一元二次方程解决实际问题