22.1 一元二次方程教案及板书设计

第二十二章 一元二次方程

22.1 一元二次方程

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教学目标

【知识与能力】

1.通过分析生活中的数学问题，类比一元一次方程概念给一元二次方程下定义；

2.掌握一元二次方程的一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式, 并正确认识二次项系数、一次项系数及常数项．

3.理解一元二次方程的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根. 【过程与方法】

1.通过探究实际问题来发现新知,向学生渗透知识来源于生活；让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。

2.通过观察、思考、交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式；

3.

经历观察、探索满足方程的解的过程，发展学生估算的意识和能力,

并归纳出一元二次方程的根的概念，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.

【情感、态度与价值观】

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情与兴趣。

教学重难点

◆教学重点：

通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念以及一般式ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题。

教学难点：

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

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学法教法

强调自主学习，注重合作交流，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探究的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新能力。

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教学前准备

多媒体课件.

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教学过程

（一）

创设情境，导入新课

通过板书：3x-5=0提问，间接复习一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.一元一次方程是我们在七年级已经学过的，运用方程的思想可以解决很多数学问题，这是一种非常常见的数学方法.从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：22.1一元二次方程）. （二）探究新知

1、一元二次方程的概念

活动一：自主学习，

感受新知

问题1 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？

分析：设雕像下部高x m，则上部高x m,得方程 x=2(2-x), 整理得 x+2x-4=0. ①

2 2

问题2

如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为（100-2x）cm,宽为（50-2x）cm. 可得方程

（100-2x）（50-2x）=3600 化简，整理得 x-75x+350=0. ②

问题3

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为4×7=28. 设应邀请x个队参赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛1场，所以全部比赛共场.可列方程

21x（x-1)212x（x-1)=28,化简,整理得 x-x-56=0. ③

2师生活动：通过多媒体播放幻灯片，引入问题．通过教师引导，学生独立思考列出方程，解决问题．

设计意图：通过实际问题引入一元二次方程的概念，提高学生建立方程模型解决实际问题的能力．

活动二：探索新知

观察上面三个方程，它们与一元一次方程有什么共同点?有什么不同点？

师生活动：学生观察，并归纳出共同特征：①整式；②一元；③2次．

给出名称并类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．

设计意图：让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的．

2．辨析巩固概念

辨别下列各式是否为一元二次方程．

(1)x-2x＝81；

2

(2)4x－3y-1=0；

222

(3)ax+bx+c=0；

2(4)x(x+1)－2=0； (5)(m-2)＝m+1．

设计意图：巩固对一元二次方程定义中3个特征的理解．

师生活动：此环节采取抢答的形式，提高学生的兴趣和积极性．在练习后，教师引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数等有关概念．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉.）

3.例题分析:

例：将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．

分析：一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：略

注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 师生活动：学生尝试完成，教师引导学生得出化为一元二次方程一般形式的一般步骤．

设计意图：加深学生对一般形式的理解．

4．练习、巩固概念

教科书练习1，练习2．

师生活动：学生独立完成后再全班交流．

设计意图：巩固一元二次方程的一般形式，掌握化为一般形式的方法．

5.一元二次方程的根的定义

（1）你能用以前所学的知识估算出下列方程的根吗？

①x-64=0②x+1=0 ③2x-32=0 2222

（2）想一想，下面哪些数是方程x-x-56=0的根？

-8，-7，-4，0，3，7，9．

思考：方程x-x-56=0的根有几个？结合上面3个问题，所列的方程两个答案都可以取吗？为什么？

归纳：我们已经知道一元一次方程的解的概念，类比得出，能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. （三）补充例题与练习

2232x2a0的一个根，求2a-1的值。

1、例题：已知x=2是关于x的方程 22x的一元二次方程(a1)x2xa210,的一根是0

.变式练习：已知关于则a的值为A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 x2x60的根？从中你能体会根的作用吗？

3、下列哪些数是方程 －4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4 4、若x＝2是方程 ax24x50的一个根，你能求出a的值吗？

设计意图：巩固一元二次方程的根的概念．

（四）拓展延伸

1、方程（2a—4）x—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 2、若x=1是关于x的一元二次方程a

x2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值.

3.若(m-3)xn-2-3nx+3=0是关于x的一元二次方程，则m ,n . 4.若关于x的一元二次方程(k-3)x|k|-1 2-x-2=0，则k的值是 。

5.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( ) A.(2x-1)(x+3)=2x-a B.ax+2x+4=0 222

C.ax+x=x-1 D.(a+1)x=0 2222(m1)27mx50是关于x的一元二次方程. 6.当m为何值时,方程 （五）归纳总结

本节课学习了哪些内容：

（1）一元二次方程的概念；

（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用；

（3）一元二次方程的解（根)及其应用。

师生活动：学生独立思考后回答、相互补充，教师归纳总结．

设计意图：梳理本课所学内容，形成对一元二次方程的概念、一般形式等的完整认识，特别要强调二次项系数不为0的重要性．

（六）布置作业

1．教材习题22.1 第1(2)(4)(6)题、第2题．

2．选用作业：

若x-2x+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值.

2m-1x4m2