等边三角形的判定优质教案设计

《三角形的证明》复习课

杨荣祥

单位：泰和县南溪初级中学

教学目标

1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等. 2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力. 3. 通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯. 教学重难点

重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点，

难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

教学过程

本节课设计了五个教学环节：第一环节：利用网络下发任务、学生全员参与讨论深化理解，疑难回归课堂；第二环节：建立本章的知识网络；第三环节：典型题目大脑风暴；第四环节：课时小结；第五环节：布置作业. 学生课前准备：根据教师布置的问题，利用网络展开全班讨论，深刻总结本章所学内容；

教师课前准备：下发讨论题目，并及时上网关注学生讨论的情况，搜集学生的疑难，做好解决预案，根据学生的弱点设计典型习题，给学有余力的学生准备拔高题目. 一、利用网络下发任务、学生全员参与讨论深化理解，疑难回归课堂

教师利用学校网络空间下发讨论题目：

1.等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？直角三角形呢？他们各自分别有哪些判定条件？

2.分别说说线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理.你是怎样发现和证明他们的？

3.已知底边及底边上的高，如何用尺规作等腰三角形？已知一直角边和斜边，如何用尺规作直角三角形？

4.说出一对互逆命题，并判断它们是真命题还是假命题. 5.梳理本章内容，用适当的方式呈现本章知识结构. 通过问题全班学生展开讨论复习本章所学习的相关基本知识，如定理、逆定理等.搜集论坛中的问题，对学生普遍出现的疑难，放在课上集中解决。

设计意图：使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的。

二、建立本章的知识框架图

制作本章的知识树，帮助学生构建起本章的知识网络. 本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？

等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理．

1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：

（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：

性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；

等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．

等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°

；

等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形．

（2）与直角三角形有关的结论：

勾股定理的逆定理；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)

（3）与一般三角形有关的结论：

在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．

2．命题的逆命题及其真假

：

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．

3．尺规作图

线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形

角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．

设计意图：通过活动，进一步发展学生的分类、归纳、总结能力，积累数学活动经验. 三、典型例题风暴

例1. 已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD与CE相较于点O，且OB=OC.

求证：△ABC是等腰三角形.

变式. 已知：如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC，两条高BD与CE相交于点O.

求证：OB=OC.

思考：在例1及其变式中用到了那些数学知识和方法？他们有什么联系？还可以用什么方法证明上面的问题？

变一变

已知：如图，在锐角三角形ABC中，OB=OC，两条高BD与CE相交于点O.

判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.

变一变

已知：如图，在锐角三角形ABC中，OB=OC，两条高BD与CE相交于点O.

AO的延长线交BC于点F请你从图中找出几对全等的直角三角形，并给出证明.

例2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.（1）求证：AE=2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.

例3

已知：△ABC，用尺规作图作出BC边上的高和AB边上的高．

ABC

能力提升

如图D，是等边△ABC的边BC上一点，E是BC延长线上一点，连接DE交AC于F，过D作DG⊥AC于G点.（1）证明：AG=1AD；（2）若DF=EF，求证：CE=AD. 2

四、课时小结

设计意图：通过本环节学生畅谈收获，从而构建自己的知识体系.将所学知识真正内化，为“我”所用. 五、布置作业

1. 如图，在△ABC中，AB=32，D为BC上一点，AD=BD=3，在DA上截取DF=DC，连接BF并延长交AC于点E. （1）请判断△ABD的形状，并说明理由；

（2）求证：△BDF≌△ADC. 分析：（1）借助直观可先猜想△ABD的形状，然后再考虑用学过的知识判定. （2）思考判定两个直角三角形全等的条件.

变式

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，BF交AD于点F，且BF=AC，FD=CD，AD=3，求AB的长. AEFBDC

思考：1题及其变式中用到了哪些数学知识和方法？他们有什么联系？

选做题：点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点,过点P作BA、AC的垂线,垂足为E、F，设D为BC的中点，

(1)猜想△DEF的形状，并与证明你的猜想. (2)试问若点P在BC边所在的直线上运动时并证明你的猜想. (3)猜想四边形AEDF的面积是否变化？并证明你的猜想！