22.1 一元二次方程课件配套优秀教案设计

中考备考综合滚动练习：《一元二次方程》（应用题专项）

1．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．

（1）第一季度平均每月的增长率；

（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？

2．如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，问小路应为多宽？

3．如图，有一块长方形铁皮，长40cm，宽20cm．在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将突出的部分折起，就能制作成一个无盖方盒，若要制作底面积为384cm2的无盖方盒，铁皮四角切去的正方形的边长应为多少？

4．某商人开始将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天售出100件；后来他利用提高售价的方法来增加利润，发现这种商品每提价1元，每天的销售量就会减少10件．

（1）他若想每天的利润达到350元，求此时的售价应为每件多少元？

（2）每天的利润能否达到380元？为什么？

5．甲、乙两个工程队原计划修建一条长100千米的公路，由于实际情况，进行了两次改道，每次改道以相同的百分率增加修路长度，使得实际修建长度为121千米，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．

（1）求两次改道的平均增长率；

（2）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？

（3）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过42.4万元，甲工程队至少修路多少天？

6．重百商场销售A、B两款羽绒服，A款成本每件1000元，B款成本每件1200元，B款售价是A款售价的倍．今年一月份A款羽绒服比B款羽绒服多卖10件，且两款羽绒服一月份的销售额都刚好到达6万元．

（1）请问A、B两款羽绒服的售价分别为多少元？

（2）今年二月份恰逢春节，商场为了促销，A款羽绒服的售价降低了，结果A款羽绒服的销量在一月份销量的基础上增加了，B款羽绒服的售价打九折，结果B款羽绒服的销量在一月份销量的基础上增加了m%，最终商场二月份销售A、B两款羽绒服的总利润为38000元，求m的值．

7．幸福水果店计划用12元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售．

（1）据调查，当该种水果礼盒的售价为14元/盒时，月销量为980盒，每盒售价每增长1元，月销量就相应减少30盒，若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于多少元？

（2）在实际销售时，由于天气和运输的原因，每盒水果礼盒的进价提高了25%，而每盒水果礼盒的售价比（1）中最高售价减少了m%，月销量比（1）中最低月销量800盒增加了m%，结果该月水果店销售该水果礼盒的利润达到了4000元，求m的值．

8．某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．

（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；

（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？

9．随着重庆市成为旅游网红城市，重庆特产也成为游客十分喜爱的产品．洪崖洞一特产商店准备购进品牌麻花和驰名火锅底料共5000袋，其中购进2袋品牌麻花和3袋火锅底料共需65元，购进3袋品牌麻花和4袋火锅底料共需90元．

（1）商店准备将品牌麻花加价40%，火锅底料加价20%后出售．当所有物品销售完后，若利润不低于18000元，则商店至少应购进品牌麻花多少袋？

（2）根据销售需要临时调整销售方案，决定将品牌麻花的售价在进价基础上上涨（a+5）%，火锅底料的售价在进价基础上上涨a%，在（1）中品牌麻花购买量取得最小值的情况下，将火锅底料的购买量提高求出a的值．

10．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5000万元，2018年投入教育经费7200万元．

（1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2019年该地区投入教育经费为

万元．

%，而品牌麻花的购买量保持不变．则全部售出后，最终可获利21750元．请

11．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．

（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．

（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．

12．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；

（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.5亿元？

13．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．

（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

14．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．

（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？

（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1：2，且里程数之比为2：1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．

15．在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

16．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．

（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？

（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．

（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

17．某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？

（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？

18．草莓具有保护视力、滋补调理的功效，所有深受大家喜爱，某生态农业园种植的草莓除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年4月份该草莓在市区、园区的销售价格分别为10元/千克、8元/千克，今年4月份一共销售了3000千克，总销售额为26000元．

（1）今年4月份该草莓在市区、园区各销售了多少千克？

（2）5月份是草莓产出旺季．为了促销，生态农业园决定5月份将该草莓在市区、园区的销售价格均在今年4月份的基础上降低m%，预计这种草莓在市区、园区的销售量将在今年4月份的基础上分别增长2m%、25%，要使5月份该草莓的总销售额达到28800元，求m的值．

参考答案

一．解答题

1．解：（1）设第一季度平均每月的增长率为x，

根据题意得：500（1+x）2＝720，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．

答：第一季度平均每月的增长率为20%．

（2）720×（1+20%）2＝1036.8（t），

∵1036.8＞1000，

∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．

2．解：设小路宽x米，则其余部分可合成长（20﹣2x）米、宽（10﹣x）米的矩形，

根据题意得：（20﹣2x）（10﹣x）＝162，

整理得：x2﹣20x+19＝0，即（x﹣1）（x﹣19）＝0，

解得：x1＝1，x2＝19．

当x＝19时，10﹣x＝﹣9不合题意，

∴x2＝19舍去．

答：小路宽1米．

3．解：设铁皮四角切去的正方形的边长为xcm，则方盒底面是长为（40﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）的长方形，

由题意得：（40﹣2x）（20﹣2x）＝384，

整理得：x2﹣30x+104＝0，

解得：x1＝4，x2＝26．

当x＝26时，20﹣2x＝﹣32，

∴x2＝26舍去．

答：铁皮四角切去的正方形的边长应为4cm．

4．解：（1）设每件这种商品的售价提升x元，则每天可售出（100﹣10x）件，

根据题意得：（10+x﹣8）（100﹣10x）＝350，

整理得：x2﹣8x+15＝0，

解得：x1＝3，x2＝5，

∴10+x＝13或15．

答：此时的售价应为每件13元或15元．

（2）假设能，设每件这种商品的售价提升y元，则每天可售出（100﹣10y）件，

根据题意得：（10+y﹣8）（100﹣10y）＝380，

整理得：y2﹣8x+18＝0．

∵△＝（﹣8）2﹣4×1×18＝﹣8＜0，

∴该方程无解，

∴假设不成立，

∴每天的利润不能达到380元．

5．解：（1）设两次改道的平均增长率为x，

根据题意得：100（1+x）2＝121，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．

答：两次改道的平均增长率为10%．

（2）设乙工程队每天修路y千米，则甲工程队每天修路（y+0.5）千米，

根据题意得：解得：y＝1，

＝1.5×，

经检验，y＝1是原分式方程的解，且符合题意，

∴y+0.5＝1.5．

答：乙工程队每天修路1千米，甲工程队每天修路1.5千米．

（3）设甲工程队修路m天，则乙工程队修路（121﹣1.5m）天，

根据题意得：0.5m+0.4（121﹣1.5m）≤42.4，

解得：m≥60．

答：甲工程队至少修路60天．

6．解：（1）设A款羽绒服的售价为x元/件，则B款羽绒服的售价为x元/件，

依题意，得：解得：x＝1500，

﹣＝10，

经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，

∴x＝2000．

答：A款羽绒服的售价为1500元/件，B款羽绒服的售价为2000元/件．

（2）由（1）得，一月份A款羽绒服销售了40件，B款羽绒服销售了30件，

依题意，得：[1500（1﹣m%）﹣1000]×40（1+m%）+（2000×0.9﹣1200）×30（1+m%）＝38000，

整理，得：m2﹣40m＝0，

解得：m1＝40，m2＝0．

答：m的值为40．

7．解：（1）设每盒售价应为x元，

依题意，得：980﹣30（x﹣14）≥800，

解得：x≤20．

答：每盒售价应不高于20元．

（2）依题意，得：[20（1﹣m%）﹣12×（1+25%）]×800（1+m%）＝4000，

整理，得：m2﹣25m＝0，

解得：m1＝25，m2＝0（不合题意，舍去）．

答：m的值为25．

8．解：（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，

根据题意得：1000（1+x）2＝1210，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．

答：该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为10%．

（2）1210×（1+10%）＝1331（万元）．

答：该镇2019年预计投入资金1331万元．

9．解：（1）设品牌麻花每袋a元，火锅底料每袋b元，

根据题意得：解得

，

设应购买品牌麻花x袋，则购火锅底料（5000﹣x）袋，

根据题意得：10×40%x+15×20%（5000﹣x）≥18000，

解得：x≥3000．

答：商店至少应购买品牌麻花3000袋．

（2）根据题意得：10（a+5）%×3000+15×a%×（1+a%）（5000﹣3000）＝21750，

∴a1＝30，a2＝﹣270（舍去）．

答：a的值为30．

10．（1）解：设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x．根据题意，得

5000（1+x）2＝7200．

解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

∴x＝0.2＝20%．

答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%．

（2）7200（1+20%）＝8640（万元）

故答案是：8640．

11．解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；

（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：

（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，

解得x1＝1，x2＝5，

当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；

当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），

为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），

答：每辆汽车的售价为20万元．

12．解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得

2（1+x）2＝2.88，

解得

x1 ＝0.2＝20%，x2 ＝﹣2.2 （不合题意，舍去）．

答：这两年该企业年利润平均增长率为20%；

（2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为：

2.88（1+20%）＝3.456，

3.456＜3.5 答：该企业2018年的利润不能超过3.5亿元．

13．解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

将（40，600）、（45，550）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

×1+8＝14，

∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000．

（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，

根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，

整理，得：x2﹣130x+4000＝0，

解得：x1＝50，x2＝80．

∵此设备的销售单价不得高于70万元，

∴x＝50．

答：该设备的销售单价应是50万元/台．

14．解：（1）设道路硬化的里程数是x千米，则道路拓宽的里程数是（50﹣x）千米，

根据题意得：x≥4（50﹣x），

解得：x≥40．

答：原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．

（2）设2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为2x千米、x千米，

2x+x＝45，

x＝15，

2x＝30，

设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y万元、2y万元，

30y+15×2y＝780，

y＝13，

2y＝26，

2018年1至5月：道路硬化的里程为40千米，道路拓宽的里程为10千米，

由题意得：13（1+a%）•40（1+5a%）+26（1+5a%）•10（1+8a%）＝780（1+10a%），

设a%＝m，则520（1+m）（1+5m）+260（1+5m）（1+8m）＝780（1+10m），

10m2﹣m＝0，

m1＝，m2＝0（舍），

∴a＝10．

15．解：如图，

过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．

∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．

∴S△PQB＝•PB•QE．

设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，

则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．

根据题意，

•（6﹣t）•t＝4．

t2﹣6t+8＝0．

t2＝2，t2＝4．

当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．

答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

16．解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有

（6﹣x）•2x＝8，

解得x1＝2，x2＝4，

经检验，x1，x2均符合题意．

故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；

（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有

△ABC的面积＝×6×8＝24，

（6﹣y）•2y＝12，

y2﹣6y+12＝0，

∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，

∴此方程无实数根，

∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；

（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），

设经过m秒，依题意有

（6﹣m）（8﹣2m）＝1，

m2﹣10m+23＝0，

解得m1＝5+，m2＝5﹣，

经检验，m1＝5+∴m＝5﹣；

不符合题意，舍去，

②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），

设经过n秒，依题意有

（6﹣n）（2n﹣8）＝1，

n2﹣10n+25＝0，

解得n1＝n2＝5，

经检验，n＝5符合题意．

③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），

设经过k秒，依题意有

（k﹣6）（2k﹣8）＝1，

k2﹣10k+23＝0，

解得k1＝5+，k2＝5﹣，

经检验，k1＝5﹣∴k＝5+；

不符合题意，舍去，

综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．

17．解：（1）商场经营该商品原来一天可获利（100﹣80）×100＝2000元；

（2）设每件商品应降价x元．

（20﹣x）（100+10x）＝2160，

（x﹣2）（x﹣8）＝0，

解得x1＝2，x2＝8．

答：每件商品应降价2元或8元．

18．解：（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（3000﹣x）千克，则

10x+8（3000﹣x）＝26000，

解得x＝1000，

3000﹣x＝2000．

故今年4月份该草莓在市区销售了1000千克，在园区销售了2000千克．

（2）依题意有10（1﹣m%）×1000（1+2m%）+8（1﹣m%）×2000（1+25%）＝28800，

整理，得m2+50m﹣600＝0，

解得m1＝10，m2＝﹣60（舍去）．

故m的值为10．