小结与思考公开课教案（教学设计）

课题：《与切线相关的动态问题

》教学设计

苏州工业园区星湾学校

李景芝

教学目标：

1.熟练掌握切线的性质和判定定理，并能利用切线的性质和定理解决问题；

2.掌握动态问题的分析方法，学会用“化动为静”的方法将动态切线的问题转化成静态问题；

3.通过将“动图”转化成“静图”，将“线段长”转化成“坐标”学会转化的思想方法和分类讨论的思想方法；

教学重难点：

将动态问题转化为静态问题，熟练利用切线的性质定理解决问题

教学准备：

ppt

教学案

圆形纸片

教学过程：

一．复习引入

1.过点A作圆O的切线PA，并说明做法依据。

2.已知PA是圆O的切线，OP平分∠APB，判断PB与圆的位置关系，并说明理由；

3.设PA=4,PO=5，求圆O的半径；你还可以求哪些线段长？

回顾如下知识点：

1.切线的判定方法：

（1）过半径外端，与该半径垂直的直线

（2）直线到圆心的距离等于半径

2.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；

3.切线长定理：过圆的外端引圆的两条切线，切线长相等；

提炼如下基本图形：

【设计意图】

通过复习与切线相关的性质和判定，唤起学生对切线的进一步的认识，培养学生见到切线联想到切线的一系列知识及切线长的基本图形。为接下来研究动态切线提供理论依据和方法支撑。

二．例题讲解

例1．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y轴相切时，圆心P的坐标为

. 变式1.若圆的半径变为1，这样的P有___个；若圆的半径变为0.5，这样的P有___个。

变式2.若⊙P与y轴相切，求点P的坐标为___________

小结：

解题步骤：

1.画出符合“相切”条件的图象；

2.利用切线的性质（圆心到切线的距离等于半径）将线段长转化成点P的纵坐标；

方法提炼：

1.抓住相切的条件，将动圆问题，转化成定圆问题，需要“化动为静”；

2.抓住圆心在抛物线上动，考虑圆的位置在变化，圆与直线的相对位置也在变化，渗透“分类讨论”

的数学方法；

【设计意图】

初步感受动圆在随着圆心的变化过程中，圆与定直线的位置关系的变化。当问题定性为“相切”时，动态问题就转化为静态问题，从而感受“化动为静”的处理方法。在静态的图形中，用切线的性质将线段长转化为坐标，从而刻画相切的位置形态，在分析的过程中，不仅要学生感受定性分析的重要性，教会学生“化动为静”的处理方法，还要教会学生动态过程中考虑问题的全面性，渗透“分类讨论”的思想方法。

例2.如图，直线y12x1上运动，当⊙P与x230)，圆P与x3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，3B y y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切时，求点P的横坐标。

x O P A

变式：当圆P与该直线相交时，求点P的横坐标x的取值范围__________。

【设计意图】

进一步让学生体验动圆与定直线位置关系的变化过程。只是定直线不是水平或者竖直放置的，也就是说，利用切线的性质，只能得到圆心到直线的距离等于半径，却无法直接转化成坐标，这种情况下，如何利用构造相似三角形解决问题。这是在例1基础上对动圆问题的进一步研究，是方法和经验的进一步积累。

例3.如图，已知A（－5，0），B（－3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为ts．

(1)求点C的坐标；

(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；

(3)若以P为圆心，OP为半径的圆与直线BC相切，求t的值。

(4)以点P为圆心、PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

【设计意图】

这是一道动圆相切的综合题，不仅圆心动，半径也在动，如何让学生在圆心和半径同时动的条件下，找到定性的多种位置；如何在定性的情况下，寻找合适的等量关系解决t的问题,是这道题的关键所在.本拓展题会给学生充分思考和充分讨论的时间,创造独立思考和小组合作的机会,让学生去表达自己的想法.

三．拓展提升

已知△ABC是边长为3的等边三角形，在其内部有一半径为1的圆，将圆在其内部移动的过程中，求圆无法覆盖的区域的面积.

变式1.将圆O绕等边△ABC边长滚动一周，求圆心O运动的路程长；

变式2.已知△ABC周长为7，若将半径为1的圆O绕其边长滚动一周，求圆心O的运动路径长；

若将变式2中的△ABC换成四边形，五边形，n变形，结论是否发生变化？

【设计意图】

从平移相切到滚动相切的拓展，让学生进一步了解动态过程中与切线相关的一些问题。让学生领悟在边上滚动的过程中，圆心在平移，而在“拐点”处转动，实际上圆心在作旋转运动，运动路线是圆弧。让学生从特殊到一般，寻找圆在多边形上寻找，圆心运动路线的规律，培养从特殊到一般的数学思想。

四.

课堂总结