用多种正多边形铺设地面教学设计(第二课时)

9．3

用正多边形铺设地面

1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．

2．探索用多种正多边形拼地板的过程和原理．

重点

通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力．

难点

通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键．

一、创设情境、复习引入

回到开始提出的问题：某些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？地砖或瓷砖的形状大多数是正多边形，是不是所有的正多边形都能铺满地面呢？

二、探索问题，引入新知

探究1：用相同的正多边形

使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？

通过学生动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角相加恰好等于360°. 下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形．完成下表：

正多边形

的边数

正多边形

的内角和

正多边形每

个内角度数

3 180°

60°

4 360°

90°

5 540°

108°

6 720°

120°

7 900°

900°

7…

…

…

n

(n－2)180°

（n－2）180°

n（n－2）·180°2n当[360°÷]为正整数时，即为正整数时，用这样的正多形就可以铺nn－2满地面．

结论：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平面图形．

探究2：用多种正多边形

用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？

由正六边形和正三角形组成也能铺满地面．

因为正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用2块正六边形和2块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，所以能铺满地面．(即：2×120°＋2×60°＝360°) 能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢？

如图①：是用正八边形和正方形拼成的．因为正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，那么用2个正八边形和1个正方形各一内角之和正好等于360°，所以可以铺满地板．(即：2×135°＋90°＝360°) 如图②：是用正六边形、正方形、正三角形拼成的．因为正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，正三角形的内角为60°，那么用1个正六边形，2个正方形和1个正三角形各一个内角之和为360°，所以可以铺满地面．(即：120°＋2×90°＋60°＝360°) 结论：若几个正多边形的一个内角的和等于360°，那么这几个正多边形可铺满地面．

【例1】

正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．

分析：先算出正八边形每个内角的度数，再看每个内角度数能否整除360°. （8－2）×180°解：不能．∵正八边形每个内角是＝135°，不能整除360°，∴不能8密铺．

点评：正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°. 【例2】

某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．

(1)如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有________．(填序号) ①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤任意三角形；⑥任意四边形

(2)如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行的方案？

(3)如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，有几种可行的方案？

分析：(1)由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．

(2)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．

(3)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．

解：(1)①正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；②正五边形每个内角是180°－360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；④正八边形的每个内角为：180°－360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺．⑤任意三角形

⑥任意四边形都可以镶嵌平面．

(2)正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°＋2×90°＝360°，能密铺．正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°＋90°＝360°，能密铺．故共有两种可行的方案；

(3)由题意可得出：正三角形、正四边形，正十二边形可以镶嵌地面；

正四边形，正六边形，正十二边形可以镶嵌地面；故有2种可行的方案．

点评：用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

三、巩固练习

1下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是(

) A．正六边形

B．正五边形

C．正方形

D．正三角形

2．下列三组正多边形的组合：①正八边形和正方形；②正五边形和正八边形；③正六边形和正方形，能够铺满地面的组合是________(填序号即可)．

3．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．

(1)则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？(两种图形都要用上) (2)请画出你的镶嵌图．

4．小红家购买了一套新房，准备用一种地板砖镶嵌新居地面，要求地板砖都是正多边形，且每块地板砖的各边长都相等，各个角也都相等、某家装饰材料市场有如下五种型号的地砖，它们每个角的度数分别为60°，90°，108°，120°，135°，你认为这些地板砖哪些适用？请说明你的理由．

5．现有一批边长相等的正多边形瓷砖(如图所示)，设计能铺满地面的瓷砖图案．

(1)能用相同的正多边形铺满地面的有________．

(2)从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是________．

(3)从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是________．

(4)你能说出其中的数学道理吗？

四、小结与作业

小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．

作业

1．教材第91页“习题9.3”第1，2 题．

2．完成练习册中本课时练习．

本节课学习用正多边形铺设地面是在学习多边形的内角和与外角和的前提下来学习的，且是多边形在生活中应用的拓展．所以这节课，教师以生活中常见的地板瓷砖来创造问题情境，学生对此也

比较感兴趣，进而引导学生探索哪些正多边形能铺满地面．这一节课，内容比较简单，幻灯片的图片也比较形象、直观，所以学生比较感兴趣、课堂气氛也相对活跃，课堂效果比较成功．