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“图形运动中的计算说理问题——广州市第二中学2018学年第二学期初三一模第25题”教学设计

广州市第九十七中学

数学科

沈秋怡

2019.5.10 一、教学内容分析

1.

图形运动中的计算说理问题，这部分压轴题的主要特征是先给出一个图形进行研究，然后研究图形的位置发生变化后结论是否发生变化，进而进行证明。解决这部分压轴题的关键是抓住图形运动过程中的数据特征和不变关系，通过计算进行说理。

2.

在历届的考试中，全等三角形与圆的相关定理几乎是压轴题中不可缺少。全等三角形与圆的相关定理的联系，使学生更好地将所学知识融会贯通。

3.

求线段和差的比值为定值，截长补短，构造全等三角形，证明线段的和差倍数关系，从而证明线段和差的比值为定值问题，培养学生平面几何推理能力。

4.

知道一个锐角的正弦值随着角度的增加而增大，求一个锐角的正弦值的最大值等价于求一个锐角的最大值，构造隐形圆，把所求角的最大值转化为求圆周角的最大值，根据圆周角定理，把求圆周角的最大值转化为求圆心角的最大值，培养学生转化思想，提高学生学***面几何的能力。对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

二、中考要求

1.会用用勾股定理的逆定理判定直角三角形。。

2.掌握两个三角形全等的条件。

3.会利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数。

4.理解弧、弦、圆心角的关系。

5.掌握圆周角与圆心角及其所对弧的关系。

6.掌握圆周角定理及其推论。

三、学情分析

1.初三学生第二轮复习的学习中已掌握全等三角形的判定与性质定理以及圆的相关定理，掌握勾股定理，能用锐角三角函数解直角三角形，等基本内容。

2.学生的分析，理解能力经过第一轮复习后有明显的提高。

3.学生具有一定的自主探究和合作学习的能力。

四、教学目标

1.知识与技能目标

（1）会用用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

（2）掌握锐角三角函数的定义；

（3）掌握全等三角形的判定与性质；

（4）掌握圆的相关定理。

2.能力目标

（1）掌握全等三角形与圆的相关定理的联系，使学生更好地将所学知识融会贯通。

（2）求线段和差的比值为定值，截长补短，构造全等三角形，证明线段的和差倍数关系，从而证明线段和差的比值为定值问题，培养学生平面几何推理能力。

（3）知道一个锐角的正弦值随着角度的增加而增大，求一个锐角的正弦值的最大值等价于求一个锐角的最大值，构造隐形圆，把所求角的最大值转化为求圆周角的最大值，根据圆周角定理，把求圆周角的最大值转化为求圆心角的最大值，培养学生转化思想，提高学生学***面几何的能力。

（4）使学生掌握类比，转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。

3.情感目标

在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。

五、教学重点难点

1.教学重点

（1）全等三角形的判定与性质定理以及圆的相关定理的综合应用。

（2）求线段和差的比值为定值，截长补短，构造全等三角形，证明线段的和差倍数关系，从而证明线段和差的比值为定值问题，培养学生平面几何推理能力。

（3）知道一个锐角的正弦值随着角度的增加而增大，求一个锐角的正弦值的最大值等价于求一个锐角的最大值，构造隐形圆，把所求角的最大值转化为求圆周角的最大值，根据圆周角定理，把求圆周角的最大值转化为求圆心角的最大值，培养学生转化思想，提高学生学***面几何的能力。

2.教学难点

（1）全等三角形的判定与性质定理以及圆的相关定理的综合应用。

（2）求线段和差的比值为定值，截长补短，构造全等三角形，证明线段的和差倍数关系，从而证明线段和差的比值为定值问题，培养学生平面几何推理能力。

（3）知道一个锐角的正弦值随着角度的增加而增大，求一个锐角的正弦值的最大值等价于求一个锐角的最大值，构造隐形圆，把所求角的最大值转化为求圆周角的最大值，根据圆周角定理，把求圆周角的最大值转化为求圆心角的最大值，培养学生转化思想，提高学生学***面几何的能力。

六、教学方法

1.师生互动探究式教学，以教学大纲为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合初三学生的求知心理和已有的认知水平开展教学，形成学生自动、生生助动，师生互动，教师着眼引导，学生着眼探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层实教，让每一个学生都能获得知识、提升能力。

2.采用中考真题作为例题，让学生提前接触中考。

3.运用多媒体、真题、学案进行辅助教学，既然学生在听课的过程中动手，动脑，又丰富了课堂的内容，有利于突出重点，分散难点，更好地提高课堂效率。

七、学法指导

1.学法引导

突出自主学习，研讨发现。知识是通过学生自己动口，动脑，积极思考，主动探索获得，学生在讨论、交流、合作、探究活动中总结方法和规律。在活动中注重引导学生体会用类比和数形结合的方法拓展知识的过程，培养学生学习的主动性和积极性。

2.学法分析

新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此教师要有组织、有目的、有针对性地引导学生参与到学习活动中，鼓励学生采用自主学习，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力，使学生真正成为学习的主人。

3.设计理念

《大纲》要求，教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要。

4.设计思路

直击中考中全等三角形与圆综合考察的内容，通过数形结合，方程思想，拓展学生思维，提高学生学习能力，增强学生分析问题、解决问题的能力。

八、教学过程

1.教学环节设计

根据中考压轴题的特点，紧紧抓住其内在联系，运用类比，联想，转化的思想，突破难点。本节课的设计环节：

25.(14分) 如图1，在平面直角坐标系中，M与x轴交于A，B两点, 与y轴于C，D两点，其中A(4,0),B(1,0),C(0,2). （1）求圆心M的坐标；

（2）点P为AD上任意一点（不与A、D重合），连接PC，PD，作AE⊥DP的延长线于点E.当点P在AD上运动时，化，请说明理由；

（3）如图2，若点Q为直线y1上一个动点，连接QC，QO，当sinOQC的值最大时，求点Q的坐标.

图1

图2 PCPD的值发生变化吗？若不变，求出这个值，若变PE

教学环节

教师活动

学生活动

一．复***面直角坐标让学生独立完成，强调表学生自主完成。

系中中点坐标公式，两点达规范。

并上黑板独立书写。

间距离公式。

教师提问，你如何判断线（1）提示：若要用AB的25.(14分) 如图1，在平面段AB为直径。

中点坐标，需要先判断AB直角坐标系中，M与x轴方法一：几何法

（1）利用相似三角形证为直径

交于A，B两点, 与y轴于明；

（2）利用勾股定理的逆∵A(4,0),B(1,0),C，D两点，其中A(4,0),定理；

C(0,2)，方法二：解析法

B(1,0),C(0,2). （1）利用圆心的定义，222AB25,AC20,BC5（1）求圆心M的坐标；

利用平面直角坐标系两

点间距离公式；

（2）利用三角形外接圆

的圆心为三边中垂线的

交点；

（3）利用两直线斜率之AC2BC2AB2ABC积等于负1证明两直线互相垂直。

为直角三角形且我们要利用数学推理证明观察得到的结论，先猜ACB90

…想，后证明。

…2分

AB为直径，圆心M的坐标为(-1.5,0). ……4分

另解：若不判断AB为直径，可以用圆心为两条弦的垂直平分线的交点，或MA=MB=MC得到

设Ma,b，由MA=MB，MC=MB得到方程组a42b02a12b02a02b22a12b02

3a解得2

∴圆心M的b03坐标为,0 2

二．教师引导合作探究

教师引导学生合作探究

（2）如图2，连接CE，当一题多解。

CEEF时，

①求证：OCE∽OEA；

学生合作探究

①如图2，连接DF，

∵CE=EF，

∴∠CDE=∠FDE，

∴∠CDF=2∠CDE，

∵∠OAE=2∠CDE，

∴∠OAE=∠ODF，

∵四边形CEFD是⊙O的

圆内接四边形，

∴∠OEC=∠ODF，

∴∠OEC=∠OAE，

∵∠COE=∠EOA，

∴△COE∽△EOA，

三．教师引导合作探究

（2）点P为AD上任意一点（不与A、D重合），连接PC，PD，作AE⊥DP的延长线于点E.当点P在AD上运动时，教师引导学生合作探究，学生独立思考在合作探总结方程思想方法。

究，构造全等三角形求提示：若猜测值是不变的，可解。

PCPD以让点P在特殊位置上求得解：的值不变，这个值，然后再证明. PE如图1，当DP//x轴时，易得PCPD2，理由如PC为直径，PE下：

………5分

方法一：延长PE至F，使EF=EP，则要证明PC=FD，只要证明△APC≌△AFD（AAS）

（从观察上可以发现△APC可以绕点A旋转∠CAD的度数得到△AFD），全等证明略

方法二：证明方向：PC=(PD+PE)+PE=ED+PE

连接AC,AD,过点PCPDPC=5,CD=4,PD=3,PE=1，可的值发生变得比值为2。

PEPCPD化吗？若不变，求出这个值，2，则可以猜测若变化，请说明理由；

PE去证明PCPD2PE，常见

的解法是截长补短法

yCxAMODBA作AHCP于H

∵ABCD,AB为直径，FEP

yCBxDPCODOADACADC

∵

四边形APDC内接于AMHEOM，APEACD

APCADCAPEPA平分EPHAEAH

在, RtAEP与RtAHP

中，

APAPAEAHRtAEP≌

RtAHP（HL） PEPH

在AED与AHC中

ADEACHAEDAHPAEAH

AED≌AHC（AAS） EDHC

PCPHHCPHED2PEPD

………10分

方法三：托勒密定理：如图4，在圆内接四边形ABCD中，ACBDABCDADBC

略证：在BD上取点P，使DAPBAC，

则可以证明ADP∽ACB，得ACDPBCAD

可以证明ABP∽ACD得ACBPABCD

∴ABCDADBCACBPACDPACBP

一般情况下，托勒密定理应用在数学竞赛中，中考中使用需要证明. 在本题中，PCADAPCDACPD

∴PCAPCDAC425PDAPPDAPADAD525

又可以证明PEPC2PEPD5AP，∴5 ABC图4

PD四．教师引导，合作探究

教师引导学生独立思考，学生独立思考，合作探究

合作探究，总结思想方（3）如图2，若点Q为直线方法一：将sinOQC放在一法。

y1上一个动点，连接个直角三角形中来求解

设QC，QO，当sinOQC的值最大时，求点Q的坐标. OQC的外心为N,点N在CO的垂直平分线. 如图，

设CO的垂直平分线与CO相交于点H连接N, 1OQCCNOONH,NONCNM2

OH1sinOQCsinONHONON

∴sinOQC的值随着ON的减小而增大

NONQ,当NQ取最小值时，OQC最

此时N与直线y1相切，NO2

NQ2

∴NHON2OH23,Q(3,1), 根据对称性，(3,1)也符

合题意

综上所述，点Q的坐标为(3,1)或(3,1)

方法二：当OQC是锐角时，sinOQC的值随着OQC的增大而增大，所以求sinOQC的最大值就是求OQC最大时的值

当△QCH的外接圆与直线y1相切，Q为切点时，y轴左侧除了点Q，直线上其它的点都在圆外，由同弧所对的圆外角小于圆周角可知，此时OQC最大，切点Q就是所求的位置

后面的计算同上可得.

五．师生小结

教师小结本题涉及的知学生根据教师小结进行识点。解题的重点难点。解题小结。

应用的数学思想方法。

六．布置作业

16,23题在改错本上改错，24,25题归纳到A4本上，其余题目直接在试卷订正。用固体胶将试卷张贴好，方便日后复习。