4.3.2 空间两点间的距离公式教学设计第一课时

点到直线的距离 教学设计

一、

教学内容分析

本节选自《普通高中课程标准实验教科书/数学比修２》人教A版第三章。这节课的任务是：给出已知点的坐标与已知直线的方程，求点到直线的距离，建立点到直线的距离公式。

教材分四步进行，第一步：回忆学生学过的两点间的距离公式及推导；第二步：研究点到简单的直线（即平行X轴或平行Y轴的直线）的距离；第三步：通过两点间距离公式的推导进一步研究点到即不平行X轴也不平行Ｙ轴的直线；第四步：记忆公式并进行简单的应用。通过课堂教学使学生由浅入深的去学习，体现了由具体到一般，相互联系、相互转化的数学思想。

二、

学生学习情况分析

知识基础：学生已学习了两点间距离公式，直线的倾斜角、斜率，直线方程的各种形式，直线间关系判断的依据；并且经历了建立这些公式、解决这些问题的过程，积累了一定的用坐标法思想解决问题的经验与各种具体方法。

认知水平与能力：从学生已有的知识与经验看，不难知道，可以把点到直线距离转化为点到点的距离问题，从而完成教学任务。

任教班级学生特点：学生基础知识较扎实，思维较活跃，对新鲜的知识有强烈的好奇心。

三、

三维教学目标

1

1、知识目标：掌握点到直线距离的公式的推导及其运用；[来源:学&科&网Z&X&X&K]

2、能力目标：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；

3、德育目标：引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验。

四、教学重点：公式的推导及其结论以及简单的应用。

五、教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法。

六、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究---发现----应用”教学模式。

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导。

学生的学法：突出探究、发现与交流。

七、教学过程

（一）、创设情景

给出定义

某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？

经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．

2

[板书]点到直线的距离

（二）、提出问题

初探思路

“求点P（-1，5）到直线l：2x+y+10=0的距离。”

提问学生解题思路，估计学生的思路：先求过点P的l的垂线l的方程；再联立l、l'求垂足Q，最后用两点间距离公式求│PQ│。[使学生巩固已学过的知识和方法，同时也为问题二的解决作铺垫。] （三）、自主探索

推导公式

已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离．

怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？ 教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．

l l '

3

板书：

By0CC。[来源:学当A0时，l:ByC0,PQy0yQy0BB科网ZXXK]

当B0时，l:AxC0,PQx0xQAx0CCx0。

AAy 当AB0时，如何求PQ？

学生思考回答下列想法：

思路一：[学生类比问题一，容易有思路]过P作PQl于Q点，根据点斜式写出直线PQ方程，由PQ与l联立方程组解得Q点坐标，然后利用两点距离公式求得．

Q O P (x0 ,y0) x 教师继续提出问题：

(1)求线段长度可以构造图形吗？

(2)什么图形？如何构造？

(3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？

学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中。 [老师引导学生观察图形，抓住直角特征，构造以垂．．．．．．．．．．．．．．．．线段为一直角边的直角三角形。] ．．．．．．．．．．．．．4

思路二：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长。[来源:Z|xx|k.Com]

学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程。

（思路一略）解：直线PQ：yy0BxAyBx0Ay0。

B2x0ABy0ACBxAyBx0Ay0由，xQ。

22ABAxByC0B2x0ABy0ACA2x0B2x0AAx0By0C

xQx0A2B2A2B2Bxx0,xx0，即A

yQy0 BAxByCxx0B0202AAB

dxQx0yQy0

22 

（

1A2B2A2B2Ax0By0CAx0By0CA2B2（思路二讲）解：设Px0,y0，QxQ,yQ，RxR,y0，Sx0,yS。

xR AxRBy0C0，By0CAxC；Ax0BySC0，yS0。

AB RPx0xR PSy0ySAx0By0C。

AAx0By0C。

B5

由PQRSPRPS，

PQ22PRPSRS。

而RSRPPSAx0By0C

PQA2B2

A2B2Ax0By0CABA2B2。

Ax0By0CAB22。

（四）、例题应用，解决问题。

例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。

解法１：直线方程是3x-2=0，。

d=31232025。

3解法２：可让学生去黑板上展示数形结合

师生共同总结出公式的结构特征、公式的适用范围、使用公式时应注意的问题等等，即如下几点：

1．公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得到的代数式加绝对值，分母是A2B2。

2．公式的适用范围：①该公式对于任何位置的点P（包括直线上的点）及任意直线都适合。②当A=0或B=0时，公式仍成立，计算时常用图形直接求解也可套用公式。

3．使用公式时应注意的问题：使用点到直线距离的公式时，应先将直线方程化为一般式。

4．用方程的观点理解公式：该公式是含有6个量的方程，知道其6

中5个量可以求第6个量。

练习：求点到直线的距离：

[来源:Zxxk.Com]

（五）、学生小结

教师点评

①

知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．

②

数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．

（六）本节小测试：[来源:Zxxk.Com]

多媒体展示：已知点A（-3，-4），B（6，3）到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求a的值。

（七）布置作业并讨论交流本节的收获。P110页 2 、3、 4题

（八）：板书设计：

点到直线的距离

一、

课题引入

二、

导入新课

（1）给出问题：

八、教学反思：

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对点到直线的距离的研究兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学及一系列的课7

(1)A(2,3),l:3x4y30;(2)B(1,0),l:3xy30;(3)C(1,2),l:4x3y0.（2）发现与探究公式

三、本节测试

（3）例题及应用

（4）归纳小结

四、布置作业

堂探究活动，加深学生对点到直线的距离的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对点到直线的距离的掌握。

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