3.1.2 导数的概念教学设计方案

3.1.2 导数的概念

教学目标：

1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；

2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；

3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；

教学重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．

教学难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．

一、回顾

1、平均变化率的定义

式子fx2fx1称为函fx从x1到x2的平均变化率 .

x2x1习惯上可用Δx表示x2x1，即Δxx2x1;类似地，

Δyf(x2)f(x1)，则平均变化率可以表示为：

f(x2)f(x1)

ΔyΔxx2x1

若令x2x1Δx，则Δyf(x1Δx)f(x1)

Δxx2x12、思考探究

思考：1.运动员位移轨迹 s(t),求某一时刻t=t0的瞬时速度怎么表示？

思考：2. 函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎么表示？ 二、新知探究

一般地，函数 y=f(x) 在x=x0 处的瞬时变化率是

： f(x0x)f(x0)ylimlim

x0xx0x我们称它为函数 y = f(x) 在x=x0 处的导数，记作f(x0)或 limyxx0，即f(x0)x0'f(x0x)f(x0)ylim

xx0x注意：

（1）函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在．

（2）在定义导数的极限式中，x趋于0，可正、可负、但不为 0，

而y可以为 0 ．

（3）导数是函数 y=f(x)在点x0处的瞬时变化率，它反映函数y=f(x)在点x0变化的快慢程度．

三、例题解析

例1 试求函数fxx3在x=1处的导数。

解：f1lim'x0f1x-f1

x

lim 1

1x34x

x0在x=3处的导数？

练习1试求函数fx-2x5在x=2处的导数。

问：根据定义，求函数 y = f(x) 在x=x0

处的导数的一般步骤是什么？

由导数的定义可知,求函数 y=f(x) 在点x0处的导数的一般步骤是: (1)

(2)

(3)

求函数值的改变量；

求平均变化率；

取极限。

口诀：一差、二化、三极限

四、课堂练习

2练习2. 利用导数的定义求函数f(x)x在x=2处的导数. 练习3. 利用导数的定义求函数f(x)2x21在x=1处的导数. 五、课堂小结

1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值．

2．利用导数定义求导数的步骤：

（1）求函数值的增量；

（2）求平均变化率；

（2）取极限得导数。 . 六、课后作业

1．函数y＝f(x)在x0处的导数定义中，自变量 x 在x0处的增量x(

) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不等于0 122．一物体的运动方程是sat(a为常数)，则该物体在tt0处2的瞬时速度（ ）

A.at0B.at01C.at02D.2at0

3. 已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x3处的瞬时变化率是 (

) 2A．3 B．－3 C．2 D．－2 4．已知函数f(x)x

，则

f(1) . 七、拓展延伸

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为y = f (x) =x2－7x+15(0≤x≤8).计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的具体意义。

解：在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率为f2和f6，

''由导数的定义可得：

yf(2x)f(2)(2x)27(2x)15(227215)x3xxx

 f(2)limylim(x3)3x0xx0

'同理可得：f65

所以，在第2 h时，原油温度的瞬时变化率是 -3，它说明在第2 h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；

在第6 h时，原油温度的瞬时变化率是 5，它说明在第附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升。

6 h