复习参考题精品学案

立体几何---平面分空间VR版教学设计

成都七中嘉祥外国语学校

李霖

一、教学目标

1.知识与技能目标

了解点分直线、直线分平面、平面分空间所得部分数，了解递推方法解释直线分平面、平面分空间的结果。

2.过程与方法目标

通过从点分直线入手，然后直线分平面过渡到平面分空间，逐步培养和发展学生的类比、自主探究能力；通过平面分空间的求解，在三维转化为二维的转化过程中，体现转化的思想方法；通过猜测结果，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度价值观培养目标

通过学生自主的探讨，使学生参与到探索知识的发生发展过程，培养创新意识，培养学生团结协作精神。

二、教学重点难点

重点：点分直线、直线分平面、平面分空间所得部分数。

难点：（1）直线分平面、平面分空间部分数最多时，直线或平面的位置关系；

（2）递推方法解释直线分平面、平面分空间的结果。

三、教法分析与学法指导

教法分析：利用多媒体教学手段，辅助VR技术。多媒体、VR技术等多种形式强化对学生感官的刺激，提高学生的学习兴趣，加大课堂信息容量，更完美实现教学目标。观察发现、启发引导、探索相结合的教学方法，启发、引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程。在此基础上，提供给学生交流的机会，学生学会对自己的数学思想进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思想；能通过对其他人的思维和策略的考察扩展自己的数学知识和使用数学语言的能力。

学法指导：观察、分析及类比联想是学法指导的重点。让学生观察、思考后总结、概括、归纳的知识，更有利于学生的掌握，从而形成新的知识结构和知识网络。让学生体会到在问题解决中学习，在交流中学习，这样可以增进学生热爱数学的情感，激发学生学习数学的动力。

四、教学流程图

平面分空间问题

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点分直线问题

直线分平面问题

五、教学过程

<一>点分直线问题

师：n个点可将一条直线最多分为几段？

学生：

n+1段

设计意图：由点分直线问题引出直线分平面问题，同时为直线分平面问题最终转化为点分直线问题作铺垫.

<二>直线分平面问题

师：n条直线最多将平面分为多少个部分？

学生直接不好回答，引导学生考虑特殊情况，并在草稿纸上自己动手画出来. 1. 特殊情况

师：先来考虑特殊情况，思考n=1，2，3，4最多将平面分为多少个部分？

师：1条直线最多将平面分为（

）个部分．

2条直线最多将平面分为（

）个部分．

3条直线最多将平面分为（

）个部分．

4条直线最多将平面分为（

）个部分．

学生通过讨论对比以及在草稿纸上画，很快给出了画法。

设计意图：通过对特殊情况的研究，为下文猜测结果做铺垫，同时学生在画的过程中，对于直线分平面部分数最多时，直线间的位置关系有了直观感受，为下文数学解释作铺垫，培养学生数学抽象的核心素养。

2. 猜测结果

我们来分析一下上面特殊情形的结论，看看能不能发现一些规律：

2

学生很容易给出猜测规律。

设计意图：从特殊到一般的推理，培养学生逻辑推理能力，融入高中数学核心要素——逻辑推理。

3. 数学解释

（1）分析关系位置（学生直接回答有困难）。

师：一个平面被n条直线分割，要使分割的部分数最多，这些直线的位置关系如何呢？

生：讨论回答

①任何两条直线相交；②任何三条直线不过同一点。

（2）递推解释

记n条直线最多将平面分为an个部分，下面我们用递推的思想来解释：

师：增加1条直线时，把平面多分割出几部分来呢？

①要使分的部分最多，由前面直线的位置关系知：

第n条直线与前(n-1)条直线要有(n-1)个交点，从而这些交点就把第n条直线分成n段；

②而每一段把所在平面一分为二，于是增加了n个部分，于是有an=an-1+n；

③由叠加法知

an=(n2+n+2)/2。

设计意图：问题层层推进，首先是考虑位置关系，其次是从递推关系解释，实质是把直线分平面的问题转化为点分直线的问题。并为第三部分平面分空间问题做铺垫，同时引导学生去思考解释平面分空间分最多时，平面位置关系以及如何从递推关系去解释。

<三>平面分空间问题

师：n个平面最多可以把空间分成几个部分? 1. 特殊情况

生：不好回答，我们可以像直线分平面一样，先考虑：特殊情况。

师：好，1个平面把空间分成几部分？

2个平面把空间分成几部分？最多几部分？

3个平面把空间分成几部分？最多几部分？

大家讨论下或者画一下。

生：1个平面把空间分成2个部分。

生：2个平面把空间分成3个或4个部分。

3

对于3个平面分空间的情况学生出现想象困难，此时教师让同学们带上VR眼睛，开始在虚拟世界中自行操作。

师：进入如下VR界面，点击开始学习。

师：进入界面后，你可以用VR手柄在图中所给的正方体中任意切割，可以切一刀、二刀……，十刀，完成后点“完成”，或者“撤销”，或者“重新开始”，看你得到的部分数。

学生可能得到如下结果，经过讨论，3个平面把空间最多分成8个部分。

师：

可以根据之前的结果猜测吗？（答案很难统一，也很大可能不正确）

平面个数n

1 2 3 4 4

空间被平面分成部分an

2 4 8 ?

生：16或14部分……

师：那你们在VR环境中试试，可能会得到的情况。如果学生没有出现最大的情况，教师可以演示。

设计意图：借助VR技术，把难以在平面中展示与想象的空间问题得以呈现，把抽象问题具体化，同时让学生自己操作，形成探究意识，锻炼分析问题，解决问题的能力。增进学生热爱数学的情感，激发学生学习数学的动力。

2. 数学解释

（1）分析位置关系

师：如何来解释？

生：像直线分平面问题一样，我们先考虑怎么分割才是最多的？此时平面位置关系如何？

师：我们再来看一遍n=1，2，3，时的情况？

生：2个平面相交。

任何3个平面，不相交于

同一条直线，交线也不能相互平行。

师：4个平面了？

借助VR操作最多时的展示，师生共同讨论得到4个平面两两相交；4个平面不共点；4个平面的交线任两条都不平行。

师：那如何解释了？教师通过引导学生观察VR里的截面痕迹来作答。

问题解决：由上面的分析，我们知道可以将平面分空间问题转化为直线分平面问题

。

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（2）递推解释

记n个平面最多将空间分为an个部分，下面我们用递推的思想来解释：

若增加1个平面，可把空间多分割出几部分呢？

①

由于增加的第n个平面与前（n-1）个平面都相交，于是第n个平面上有(n-1)条交线；

②因此增加的第n个平面被(n-1)条直线分成[(n-1)2+(n-1)+2]/2=(n2-n+2)/2块；

③而每一块把所在的部分空间一分为二，于是增加了(n2-n+2)/2个部分，于是an=an-1+(n2-n+2)/2；

④由叠加法得an=(n3+5n+6)/6. 设计意图：借助VR技术，把如何将平面分空间问题转化为直线分平面问题直观化，把抽象问题具体化。同时从递推的角度解释，展现数学的严谨性。

六、板书设计

电子白板屏幕

主板书【一直保留】

1.点分直线问题

2.直线分平面问题

3.平面分空间问题

辅板书：例题、草稿等

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