3.1.3 导数的几何意义教案1

导数的几何意义

授课类型：新授课

（第1课时）

●教学目标

理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解,通过多媒体课件的直观演示，引导学生通过观察，思考，发现并归纳导数的几何意义, ●教学重点

理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，体会数形结合、以直代曲的思想

●教学难点

发现、理解及应用导数的几何意义；对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解；运用导数的几何意义解释函数变化的情况

●教学过程

1.课题导入

复习

yf(x2)f(x1)1平均变化率

xx2x1

yf(x2)f(x1)割线的斜率

kxx2x1

f(x0x)f(x0)f2.导数的概念

f(x0)limlimx0xx0x

3.求函数的导数的步骤

（1）求平均变化率

（2）取极限

2.提出问题

导数的几何意义是什么？

观察：割线的变化趋势

（课件展示）

思考：割线的斜率与切线的斜率有什么关系

导数的几何意义

函数

y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是

f(x0x)f(x0)yk＝f(x)0

切线曲线y=f(x)在点x0x0P(x0 ,f(x0))处的切线方程是

limxlimx

例题分析

1【例】如图3.13,它表

示跳水运动中高度随

时间变化的函数ht

4.9t26.5t10的

图象.根据图象,请描述、比较曲线ht在t0,t1,t2附近的变化情况.

【例2】设f(x)x2，求f(x)，f(1)，f(2)的值．

解：由导数的定义知：

f(xx)f(x)

f(x)limx0

x

(xx)2x2lim

x0x

lim(2xx)x0

2x

f(1)f(x)|x12(1)2，

f(2)f(x)|x2224．

【例3】求曲线yx2在点A(2,4)处的切线方程．

分析：本题关键是求切线斜率，kf(2)，有两种思路：

f(2x)f(2)(2)limkf一是直接求；

x0x

f(xx)f(x)(x)limf二是先求，再令x2求得kf(2)．

x0x2y(xx)x2

limlim2x．

解：yx0xx0x

所以，斜率为kf(2)y|x2224．

故点A(2,4)处切线方程为：y44(x2)，即4xy40．

变式训练

2

求过点P(3,5)且与曲线yx相切的直线方程．

4

课时小结

1．知识：

（

1）切线的定义：当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)逼近点

P(x0,f(x0))时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确

定位置上的直线PT称为点P处的切线．

（

2）函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义就是函数f(x)

xx0处的切线的斜率．

的图象在

（3）求曲线在某点处的切线方程的方法，正确区别“在某点的

切线方程”与“过某点的切线方程”．

（

4）求函数yf(x)的导函数的方法，正确区别“f(x0)”与“

f(x)”．

2

．思想：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法.

1．求曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程．

2．已知抛物线y2x21，求

（1）抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20；

（2）抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30．

3．若函数yx22ax与y2x4相切，求a的值．

作业：

必做题

选做题

1．已知曲线y2x27，求曲线过点P(3，9)的切线方程．

2．设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的

斜率最小的切线与直线12xy60平行，求a的值．