2.1.4 平面与平面之间的位置关系教案和课堂实录

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第

节

2.1.3空间中直线与平面、

2.1.4平面与平面之间的位置关系

教学目标：

1．了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系；培养学生的空间想象能力.

2．学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.

教学重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.

教学难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.

教学过程

借助实物，让学生观察事物、思考等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.

教学过程

教学内容

问题1：空间中直线和直线有几种位置关系？

一、新课导入

问题2：一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？

师生互动

生1：平行、相交、异面

生2：有三种位置关系：

（1）直线在平面内

（2）直线与平面相交

（3）直线与平面平行

师肯定并板书，点出主题. 1．直线与平面的位置关系.

（1）直线在平面内——有无数个公共点.

（2）直线与平面相交——有且仅有一个公共点.

（3）直线在平面平行——没有公共点.

二、探索新知

其中直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外，记作a.

a.图形语言是：

师：有谁能讲出这三种位置有什么特点吗？

生：直线在平面内时二者有无数个公共点.

直线与平面相交时，二者有且仅有一个公共点.

直线与平面平行时，三者没有公共点（师板书）

师：我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为加强对知识的理解培养，自觉钻研的学习习惯.数形结合，加深理解. 复习回顾，探索求真，激发学习兴趣. 设计意图

直线a在面内的符号语言是直线在平面外.

师：直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？谁来画图表示一个和

直线a与面相交的a∩= A.书写一下.

图形语言是符号语言是：

1 学生上台画图表示.

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师；好.应该注意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平

直线a与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：

面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外. 2．平面与平面的位置关系

（1）问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

（2）问题2：如图所示，围成长方体ABCD – A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置探索新知

关系有几种？

（2）平面与平面的位置关系

平面与平面平行——没有公共点.

平面与平面相交——有且只有一条公共直线.

平面与平面平行的符号语言是∥.图形语言是：

师：下面请同学们思考以下两个问题（投影）

生：平行、相交. 师：它们有什么特点？

生：两个平面平行时二者没有公共点，两个平面相交时，二者有且仅有一条公共直线（师板书）

师：下面请同学们用图形和符号把平面和平面的位置关系表示出来……

师：下面我们来看几个例子（投影例1）

通过类比探索，培养学生知识迁移能力. 加强知识的系统性. 【预习评价】

1．平面平行有传递性吗？

提示

有．若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β，β∥γ⇒α∥γ. 2．分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？

提示

分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行

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或异面. 三、典型例题

题型一

直线和平面的位置关系

【例1】

下列说法中，正确的有(

) ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

解析

如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误．

答案

B 规律方法

直线与平面位置关系的判断

(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．

另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．

【训练1】

下列命题中，正确的命题是(

) A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α

B．若a∥α，b⊂α，则a∥b

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C．若a⊂α，则a与α有无数个公共点

D．若a⊄α，则a与α没有公共点

解析

对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时只有一个公共点，所以D错．

答案

C 题型二

平面与平面的位置关系

【例2】

以下四个命题中，正确的命题有(

) ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；

④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．

A．③④

B．②③④

C．②④

D．①④

解析

当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．

答案

A 规律方法

平面与平面的位置关系的判断方法：

(1)平面与平面相交的判断，主要以公理3为依据找出一个交点．

(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点．

【训练2】

如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(

) A．平行

B．相交

C．平行或相交

D．垂直

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解析

根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系．如图所示．

答案

C 四、

课堂达标

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

D

) A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

B．两条直线不相交

D．任意一条直线不相交

2．两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点．

其中正确的个数是(

B

) A．1

B．2

C．3

D．4 3．下列命题中，正确的有(

B

) ①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(

D

) A．都平行

B．都相交

D．至少与其中一个平面平行

C．在两个平面内

5．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

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其中错误命题的序号为________．

解析

对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．

答案

①②

五、课堂小结

1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．

2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称.

六、作业布置2.1.3空间中直线与平面、2.1.4平面与平面之间的位置关系

教学后记

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