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考点1

空间几何体的结构特征

解答关于空间几何体结构特征的有关问题：

一是要紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

二是通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

[典例1]

给出下列四个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 [解析]

①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

[答案]

B [对点训练] 1．给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．

其中错误的命题的序号是________．

解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确；②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．

答案：①②③④

考点2

三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．

[典例2]

(1)(2016·威海模拟)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

) 三视图与直观图

(2)(2016·郑州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(

)

[解析]

(1)图2所示的几何体的侧视图由点A，D，B1，D1确定外形为正方形，判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚，其中要把AD1和B1C区别开来，故选B.(2)A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D. [答案]

(1)B

(2)D [对点训练] 2．(2016·汕尾模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为(

)

解析：选C

根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为：

直观图

侧视图

所以侧视图如图所示. 考点3

空间几何体的体积与表面积

几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．

[典例3]

(1)(2015·重庆高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

113πA.＋2π

B.

367π5πC.

D.

32(2)(2016·合肥模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

)

A．12＋42

B．18＋82 C．28

D．20＋82 [解析]

(1)由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积1113π为π×12×2＋×π×12×1＝. 236(2)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．

1则该几何体的表面积为S＝2××2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D. 2[答案]

(1)B

(2)D [对点训练]

3．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是(

) 8A．45，8

B．45，

38C．4(5＋1)，

D．8,8 3

解析：选B

由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高118×2×5＝45，V＝×22×2＝. 为22＋12＝5，所以S侧＝4×2334．(2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

解析：该几何体是一个组合体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱．因为V圆锥18π8π20π＝π×22×2＝，V圆柱＝π×12×4＝4π，所以该几何体体积V＝＋4π＝. 333320π答案：

3

（时间120分钟

满分150分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

解析：选C

本题考查四棱柱的结构特征，画出示意图即可．

2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°

形成的曲面所围成的几何体是(

) A．球体

B．圆柱

C．圆台

D．两个共底面的圆锥组成的组合体

解析：选D

以等腰三角形的底边为旋转轴，所得几何体是两个圆锥．

3．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(

)

解析：选A

由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，即为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(

)

解析：选D

先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原为空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D. 5．(2016·长沙模拟)已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(

)

11A.

cm3

B.

cm3

2311C.

cm3

D.

cm3

612解析：选C

根据三视图可知原几何体是三棱锥，

1111V＝Sh＝××1×1×1＝(cm3)．

33266．已知某个几何体的三视图如图(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的表面积是(

)

A．(368π＋65)cm2

B．(368＋56π)cm2

C．(386＋56π)cm2

D．(386＋65π)cm2

解析：选B

从该几何体的三视图可知，这个几何体是由两部分构成的，下部分是长方体，上部分是半个圆柱．且长方体的三边长分别为8 cm,10 cm,8 cm，半个圆柱的底面半径为4 cm，高为10 cm.所以其表面积为(368＋56π) cm2. 7．现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38 mm，“大球”的直径为40 mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为(

) A.19∶20

B．19∶20 C．192∶202

D．193∶203

解析：选C

因为S小球＝4π·192，S大球＝4π·202，所以S小球∶S大球＝(4π·192)∶(4π·202)＝192∶202. 8．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是(

) 1139A.

B.

C．1

D.

24129解析：选D

设上，下底半径分别为r1，r2，过高中点的圆面半径为r0，由题意得r2＝2V上r1＋r1r0＋r253904r1，r0＝r1，所以＝2. 2＝2V下r2＋r2r0＋r0129

9．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为(

) A．1∶3

B．1∶4 C．1∶5

D．1∶6 11a3解析：选D

设正方体的棱长为a，则棱锥的体积V1＝××a×a×a＝，又正方体326的体积V2＝a3，所以V1∶V2＝1∶6. 10．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则它的表面积为(

)

A．4(33＋4)

B．12(3＋2) C．12(23＋1)

D．3(3＋8)

解析：选B

如图所示，

S＝12×32×2＋6×2×2＝123＋24 4＝12(3＋2)．

11．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是(

) A．16π

B．20π

C．24π

D．32π

解析：选C

正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为22，正四棱柱的体对角线为26.而球的直径等于正四棱柱的体对角线，即2R＝26，R＝6，S球＝4πR2＝24π.

12．(2016·南昌第一次模拟)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是(

) 7πA.

B．2π

49πC.

D．3π

4解析：选C

由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为22－12＝3，则AB＝3，过点329πE的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面积S＝π×2＝4. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为________cm2. 1解析：圆柱的底面半径为r＝×4＝2(cm)，∴S侧＝2π×2×4＝16π(cm2)．

2答案：16π

14．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截

球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．

解析：如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以OH121R，即R2＝R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由题意得πr2＝π，则r＝1，故R2＝1＋3399π＝.由球的表面积公式，得S＝4πR2＝. 829π答案：

215．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

解析：由题意得所求几何体为两个底面半径为1，高为1的圆锥与底面半径为1，高为18π2的圆柱的组合体，∴所求几何体体积为V＝2×π×12×1＋π×12×2＝. 338π答案：

316．一块正方形薄铁片的边长为4 cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3. 解析：扇形的面积和圆锥的侧面积相等，根据公式即可算出底面半径r，则容积易得．即12πr＝×2π×4，则r＝1. 4又母线长为4 cm，h＝42－12＝15. 1115π则V＝πr2h＝×π×12×15＝. 333答案：15π

3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·天津和平区高一期中)已知四棱锥P-ABCD，其三视图和直

观图如图，求该四棱锥的体积．

解：由三视图知底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4. 顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，

1116则体积VP-. ABCD＝SABCD×PE＝×2×4×2＝333

18．(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，

S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧

＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，

11148πV＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－π×22×2＝. 33319．(本小题满分12分)

如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．

解：设圆柱的底面半径为r，高为h′. 圆锥的高h＝

又∵h′＝3，

r23－3∴＝，∴r＝1. 223∴S表面积＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh′

＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.

42－22＝23，

20．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：

(1)三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值；

(2)三棱锥A′-BC′D的体积．

解：(1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，

∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝2a，

∴S三棱锥＝4×∴S三棱锥3＝. S正方体33×(2a)2＝23a2，S正方体＝6a2，

4(2)显然，三棱锥A′-ABD、C′-BCD、D-A′D′C′、

B-A′B′C′是完全一样的，

∴V三棱锥A′-BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′-ABD

11＝a3－4××a2×a

32a3＝. 321．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是一个长为8，宽为6的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的侧面积S.

解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8、高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图．

11(1)几何体的体积V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64. 33(2)正侧面及相对侧面底边上的高h1＝42＋32＝5. 左、右侧面的底边上的高h2＝42＋42＝42.

11故几何体的侧面积S＝2××8×5＋×6×42＝40＋242. 2222．(本小题满分12分)(2016·淄博高一检测)直三棱柱的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．

解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm. 因为在△ABC中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，AC＝5 cm，

所以△ABC为直角三角形．

根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R＝5，

所以R＝1 cm，

所以V圆柱＝πR2·h＝6π (cm3)．

1而三棱柱的体积为V三棱柱＝×3×4×6＝36(cm3)，

2所以削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm3)．