阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法优质课教学设计

2.3.4 平面与平面垂直的性质

教材分析

《平面与平面垂直的性质》是数学必修二（人教A版）第三节第4课时，是线面垂直与面面垂直内容的延续.平面与平面垂直问题是平面与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而解决问题。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力，这些都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面与平面垂直的性质定理及应用. 教学目标

重点：平面与平面垂直的性质定理. 难点：灵活应用面面垂直的性质定理证明线线垂直和面面垂直，达到三者的相互转化.

知识点：（1）平面与平面垂直的性质定理及证明；（2）了解性质定理的作用并能运用性质定理解决一些简单问题. 能力点：通过“直观感知，操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 教育点：进一步激发对空间图形研究的兴趣，形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识. 自主探究点：让学生归纳整理本节所学知识. 考试点：正确运用平面与平面垂直的性质定理.

教具准备

多媒体课件. 课堂模式

学案导学，多媒体引导启发. 教学过程

一、复习回顾

1、面面垂直的定义；

2、面面垂直的判定. 二、引入新课

思考1.(情境导入)

教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

思考2.(事例导入)

如图1，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平

面ABCD垂直，直线A′A垂直于其交线AD.平面A′AD

D′

内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？

图1 【设计意图】通过问题导入，让学生思考、探索，在轻松、融洽的教学氛围中，为引出平面与平面垂

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直的性质定理做铺垫，引起学习兴趣，提高课堂效率. 三、探究新知

如图2，设，CD，AB，ABCD，且ABCDB.求证：AB

.



EDBA

C

图2 引导：这个命题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些，由本题的已知看看哪种方法最适合. -CD的平面角.由知，

ABBE.又ABCD，BE与CD是内的两条相交直线，所以AB. 证明：在内引直线BECD，垂足为B，则∠ABE是二面角此命题就是面面垂直的性质定理. 由学生归纳得出结论：两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 两平面垂直的性质定理应注意：

定理的条件有：平面垂直，线在面内，线垂直交线. 【设计意图】使学生进一步体会性质定理的条件，进一步掌握符号语言的运用. 下面我们来看一下两个平面垂直的性质的另一个定理，也即课本72页思考. 设平面平面，点P在平面内，过点P作平面的垂线a，求证：直线a直线重合. 证明：如图3，设c，过点P在平面内作直线bc，根据平面与平面垂直的性质定理有b.因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b重合，因此直线a

这是面面垂直的另一个性质，它的作用是判定直线在平面内.用语言叙述就是：

2 平面. 引导：过一点只能作一条直线与已知平面垂直.因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条平面.

如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.

【设计意图】通过语言叙述的形式增强学生对新知识的理解，提升教学效果. 四、理解新知

1.平面与平面垂直的性质定理用文字语言表示为：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

2.平面和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：

符号语言：，CD，AB，ABCD，且ABCDB【设计意图】强化对定理的理解应用. 

AB.

五、运用新知

例1. 如图4，已知平面,，，直线a满足a，a，试判断直线a与平面的位置关系.

图4 解：在内作垂直于与交线的直线b，

因为a，所以b.

因为a，所以a∥b. 又因为a，所以a∥. 即直线a与平面平行.

【设计意图】通过例子，巩固所学知识，加深学生对定理的理解. 课堂练习：（课本73页练习）

1.下列命题中错误的是（

A ）

．．(A) 如果平面⊥平面，那么平面内所有直线垂直于平面. (B) 如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面. (C) 如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面. (D) 如果平面⊥平面，平面⊥平面，2.已知两个平面垂直，下列命题：

①

一个平面内已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线. ②

一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③

一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面. ④

过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（

C ）

(A) 3

(B) 2

(C) 1

(D) 0 l，那么l. 六、课堂小结

教师提问：（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）面面垂直的性质定理的内容及作用是什么？

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【设计意图】回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力. 七、布置作业

（1）复习本节课内容；双成新学案P38例2和即学即练2. 【设计意图】让学生进一步巩固所学知识. 八、教后反思

1.优点：（1）从实际的教学效果来看，本课设计较好，安排了回顾旧知，导入新课，能从生活中的实际问题出发，设计探究与思考，激起了学生的思维，使学生思维活跃，调动了学生的积极性，教师又能用适当的启发和疑问引领学习活动沿着一定的主线进行，培养了学生的分析归纳能力.整节课堂气氛活跃，师生互动、生生互动都很好，较好地实现了生生之间和师生之间的对话和交流，体现了学生主体性，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所.（2）本节课主要运用了探究性教学，对于性质定理的教学，不是生硬地直接告诉学生面面垂直的性质定理，而是通过设置一个个问题，层层不断地分析处理，最后让学生归纳出面面垂直的性质定理，这样不但让学生对定理准确的把握，而且对他们也进行了学习方法和思维方法的指导，即尝试用从特殊到一般、转化等思想解决问题，使他们掌握了处理问题的方法. 2.不足：（1）学生做题不够规范，符号语言表示不太准确，应加强学生做题规范性的训练.（2）学生在解题时易忽视“线在面内”这个条件，所以，在做练习时教师应多给学生加以强调.（3）因为太注重课程的完整性，所以在有些归纳总结时留给学生思考的时间稍短，基础差的学生理解不够深刻. 九、板书设计

2.3.4 平面与平面垂直的性质

一、复习回顾

1、面面垂直的定义；

2、面面垂直的判定. 二、问题思考：

问题1 问题2 平面与平面垂直的性质定理：

（文字语言）

（符号语言）

例1、

课堂练习

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