3.1.2 导数的概念教学设计方案

高一数学选修1—1教案

课题

3.1.2导数的概念

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

教学2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；

目标

3.会求函数在某点的导数. 教学瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.

重点

教学导数的概念.

难点

课前多媒体课件

准备

一、【复习回顾】

二、【创设情境】

1、平均变化率

2、探究

计算运动员在0th 65这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程: 如图是函数h(t)4.9t6.5t10的图像, 265结合图形可知,h()h(0), 4965h()h(0)0(s/m)

所以v496504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m), 49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 三、【新知探究】

1.瞬时速度

ot 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况:

思考: 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？

结论: 当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v都趋近于一个确定的值13.1. 从物理的角度看,时间t间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2,t趋近于0时,平均速度v趋近于定值13.1”

为了表述方便,我们用lim小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值. 2.导数的概念

从函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是: f(x0x)f(x0)f

limx0x0xx'我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数,记作f'(x0)或y|xx0

lim即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x说明: (1)导数即为函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率; (2)xxx0,当x0时,xx0,所以f(x0)lim【例题精析】

例1 (1)求函数y3x在x1处的导数. (2)求函数f(x)xx在x1附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求fyf(x0x)f(x0),再求解: (1)法一

定义法(略) 22x0f(x)f(x0). xx0yy,最后求lim. x0xx

3x23123(x212) 法二

y|x1limlimlim3(x1)6

x1x1x1x1x1y(1x)2(1x)2(2)3x

xxy(1x)2(1x)2 f(1)limlim(3x)3

x0xx0x例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:C)为f(x)x7x15(0x8),计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:

在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)

''2f(2x)f(x0)f

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xf所以f(2)limlim(x3)3 同理可得:f(6)5

x0xx0在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5, 说明在第2h附近,原油温度大约以3C/h的速率下降

根据导数定义在第6h附近,原油温度大约以5C/h的速率上升. 注: 一般地,f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.

课堂练习

1.质点运动规律为st3,求质点在t3的瞬时速度为. 2.求曲线yf(x)x在x1时的导数. 3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 四、【课堂小结】

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念. 2.导数的概念.

五、【书面作业】

课后习题

32