复习参考题说课稿【一等奖】

中点弦的相关问题—“点差法”的使用

广州市培英中学 吴晨

教学内容：

圆锥曲线的中点弦及其相关问题是常见的题型。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系，中点坐标公式求解。另一种方法是“点差法”，一般地，若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，再进行求解。

这两种方法都是从代数的角度解决几何问题，用到的都是方程思想及“设而不解”的求解过程。相比之下，联立方程组的方法适用于更多的平面几何问题。而在解答平面解析几何中的中点弦方程、求弦中点轨迹、垂直平分线问题时，如果能适时运用点差法，可达到减少运算量，优化解题过程的目的。但在具体应用时，两种方法都需要考虑直线斜率的存在性以及符合条件的直线确实存在。而学生由于认知方面的原因，常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，出现错误却无法察觉。同时，点差法是一种很灵活的方法，学生在处理多个未知数的时候没有头绪和目标，这也是我们解析几何的一个重点和难点。

教学目标：

（1）能准确判断中点弦及其变式问题，如垂直平分线问题；

（2）在点差法及联立方程组的使用过程中，能注意他们的区别与联系，并能注意到他们的使用条件，防止增根的产生；

（3）在解题时能综合运用方程思想、函数思想、数形结合等方法。在方程思想的应用上，有“设而不解”以及逐步消元的意识。

（4）通过教学过程中的分析和解题后的反思培养学生思考的能力和分析的意识。

学情分析：

（1）学生已经具备用代数方法解决平面几何的意识；经过几种曲线方程和几何性质的学习，已经基本熟悉数形结合的思想方法；在方程思想的应用上，学生能熟练解决一元二次方程的相关问题，并有效地与几何图形结合；

（2）在中点弦的问题上，学生也学习了“点差法”的“设而不解”及巧妙构造的思想，清楚了基本的解题步骤。但是在实际运用中，学生仍然不能灵活处理这些未知数及他们之间的关系，导致他们碰到这类问题不愿用，不敢用这种新方法；而且很多同学在用“点差法”时常常忽略了直线斜率是否存在以及符合条件的直线是否存在这两个问题，从而出现错误；

教学策略：

（1）以习题课的形式，通过师生互动，合作探究的方式，使学生加深对点差法的认识；

（2）选题要有针对性。先从学生熟悉的封闭曲线椭圆做为切入点，通过学生自己的做题过程，让学生自己发现问题，解决问题；而对于双曲线的中点弦的存在性问题，既要找到共性，又要发现区别；

（3）中点弦的变式问题我们集中探讨对称问题（垂直平分线问题），通过中点弦的存在性去求参数的取值范围；这个过程是点差法的灵活应用，需要学生有较强的处理方程的能力，以及消元消参的思想。

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教学过程：

（1）课前热身

1.直线yx1被椭圆x22y24所截得的弦的中点坐标是_____________________.

2.若PQ是圆x2y29的弦，PQ的中点是（1,2），则直线PQ的方程是________________. 3.过点Q（4,1）作抛物线y28x的弦AB,若弦AB恰被Q平分，则AB所在的直线方程是_____________.

（2）例题讲解

x2y21于 A、例1. 过点P(-1，1) 作直线交椭圆 B 两点，若线段 AB的中点恰为点 P，42求 AB所在的直线方程．

y22x1，过点P(1，1)能否作直线 l与双曲线交于A,B两点，且P 变式：已知双曲线 2

l的方程，若不存在，说明理由。

为线段AB的中点？若存在，求出直线

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m的例2. 抛物线C: y2x上存在不同的两点关于直线 l:ym(x3)对称，求实数 取值范围。

课后练习：

1. 已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(7,0),直线yx1与其交于M,N两点，MN的中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是( ). 3x2y2x2y2x2y2x2y21 B. 1 C. 1 D. 1

A. 3443522522.设P1P2为抛物线xy的弦，如果这条弦的垂直平分线的方程为yx3，则弦P1P2所在的直线方程是________________. x2y23.已知AB是椭圆不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中43心，则直线AB和直线OP的斜率之积是___________.

x2y21： 4. 已知椭圆 2

（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；

（2）过A(1，0)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程。

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