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必修2第一讲

空间几何体

一、选择题

1．右面的三视图所示的几何体是( )．

A．六棱台

C．六棱柱

B．六棱锥 正视图

侧视图

俯视图

D．六边形 (第1题) 2．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为( )．

A．1∶3

B．1∶3

C．1∶9

D．1∶81 3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )．

侧(左)视图

正(主)视图

(第3题)

4．A，B为球面上相异两点，则通过A，B两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有( )．

A．一个 B．无穷多个 C．零个 D．一个或无穷多个

5．右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( )． )．[来源:学科网] 正视图

侧视图

A B C D 俯视图

(第5题)

6．下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有( )．

A．1块B．2块

C．3块D．4块

(第6题)

1

7．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )．

A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同

B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴

C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变

D．斜二测坐标系取的角可能是135°

8．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．

A．①②

B．①③

C．①④

D．②④

9．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )．

A B C D 10．如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是( )．

A．原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心

B．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心

C．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心

D．原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心

二、填空题

11．一圆球形气球，体积是8 cm，再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积是27 cm．则气球半径增加的百分率为 ．

33

2

12．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 ．

13．右图是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：

①如果A是多面体的下底面，那么上面的面是 ；

②如果面F在前面，从左边看是面B，那么上面的面是 ．

14．一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是 ． 三、解答题

15．圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是

圆柱底面的内接正方形．已知圆柱表面积为6，

且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积．

16．下图是一个几何体的三视图(单位：cm) (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积. (第13题)

3

A 1 B C 1 1 A B 俯视图

3 正视图

A＇

A B＇

C 侧视图

B C＇

A＇

B＇

(第16题)

17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

(第17题)

19．如图，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为

a，求原来水面的高度． 2(第19题)

20．如图，四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形．两个对角面也是长方形，面积分别为Q1，Q2．求四棱柱的侧面积．

(第20题)

4

参考答案

一、选择题

1．B 解析：由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为六棱锥．

2．A 解析：由设两个球的半径分别为r，R，则 4r∶4πR＝1∶9. ∴

r∶R＝1∶9，

即r∶R＝1∶3．

3．C 解析：在根据得到三视图的投影关系，∵正视图中小长方形位于左侧，∴小长方形也位于俯视图的左侧；∵小长方形位于侧视图的右侧，∴小长方形一定位于俯视图的下侧，

∴

图C正确．

4．D 解析：A，B不在同一直径的两端点时，过A，B两点的大圆只有一个；A，B在同一直径的端点时大圆有无数个．

5．D 解析：由几何体的正视图和侧视图可知，几何体上部分为圆锥体，由三个视图可知几何体下部分为圆柱体，∴

几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体．

6．D 解析：由三视图可知几何体为右图所示，显然组成几何体的长方体木块有4块．

7．C (第6题)

2222解析：由平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于y轴的线段长度在直观图中是原来的一半，∴ C不对．

8．D 解析：①的三个视图均相同；②的正视图和侧视图相同；③的三个视图均不相同；④的正视图和侧视图相同．∴有且仅有两个视图相同的是②④．

9．A

5

解析：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．

10．B 解析：在平行投影中线段中点在投影后仍为中点，故选B．

二、填空题

11．50%．

解析：设最初球的半径为r，则8＝3343r3；打入空气后的半径为R，则27＝43R3．

∴

R∶r＝27∶8．∴

R∶r＝3∶2．∴气球半径增加的百分率为50%．

12．160．

解析：依条件得菱形底面对角线的长分别是15252＝200和9252＝56．

20056256＝ 8．

∴菱形的边长为22422∴棱柱的侧面积是5×4×8＝160． 13．F，C．

解析：将多面体看成长方体，

A，F为相对侧面．如果A是多面体的下底面，那么上面的面是F；如果面F在前面，从左边看是面B，则右面看必是D，于是根据展开图，上面的面应该是C．

14．80．

解析：由三视图可知，几何体是由棱长为4的正方体和底面边长为4，高为3的四棱锥132组成，因此它的体积是V＝4＋×4×3＝64＋16＝80．

3三、解答题

15．参考答案：设圆柱底面圆半径为r，则母线长为2r．

∵圆柱表面积为6，

∴6＝2r＋4

2

r2． ∴

r＝1．

∵

四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形， ∴正方形边长为2．

∴四棱柱的体积V＝(2)×2＝2×2＝4．

2

6

16．(1)略．

(2)解：这个几何体是三棱柱．

由于底面△ABC的BC边上的高为1，BC＝2，∴

AB＝2．

故所求全面积S＝2S△ABC＋SBB′C′C＋2SABB′A′＝8＋62(cm)．

几何体的体积V＝S△ABC·BB′＝213×2×1×3＝3(cm)．

217．解：S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面

＝×5＋×(2＋5)×5＋2×2×22＝(60＋42)．

V＝V台－V锥＝13(r12＋r1r2＋r22)h－13r2h1＝1483．

18．解：设正方体的边长为a，球的半径为r，圆柱的底面直径为2R，

则6a＝4πr＝6πR＝S．∴

a＝32222SSS22，r＝，R＝．

64π6πS3S∴(V正方体)＝(a)＝(a)＝＝，

216623223S316223162S43(V球)＝πr＝π(r)＝π≈，

10834π99223S3S(V圆柱)＝(πR×2R)＝4π(R)＝4π≈．

1626π22222323∴V正方体＜V圆柱＜V球．

19．解：设水形成的“圆台”的上下底面半径分别为r，R，高为h，则2rah＝．

Ra73ππaR223则依条件得·h·(r＋rR＋R)＝··，化简得(h－a)＝－a．

332287a3解得h＝a－． 837a．

即h＝1220．解：设底面边长为a，侧棱长为l，底面的两对角线长分3

(第20题) 7

别为c，d．

cl

＝

Q1

①则dl

＝

Q2

②22

1122c

＋

2d

＝

a ③22由

①

得c＝Q1QQQ2l，由

②

得d＝2l，代入

③

得12l＋22l＝a．∴Q221＋Q2＝4l2a2，

∴2la＝Q221＋Q2．

故S侧＝4al＝2Q221＋Q2．

8