小结国家获奖教案

圆锥曲线的离心率

大城县第一中学 殷艳军

一、教材分析：

圆锥曲线有丰富的实际背景，它在刻画现实界和解决实际问题中有重要的作用。

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，是刻画圆锥曲线形态特征的基本量。通过分析椭圆、双曲线、抛物线的离心率，其蕴含着数形结合、方程思想的应用，增强学生学习解析几何的兴趣，提高学生自主去探究、发现问题、分析问题、解决问题的能力. 二、学情分析

学生刚学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质，其中求圆锥曲线的几何性质离心率是常考的题型，给题方式灵活多样，对于高二的学生来说，很难掌握解题的规律。本节对圆锥曲线的离心率的求法予以归纳，并通过例题加以说明，以便学生能更好地掌握研究方法与思路。

三、教学目标

知识目标：

1、掌握圆锥曲线离心率的定义及几何意义. 2、会求椭圆和双曲线的离心率的值. 技能目标：渗透数形结合与方程的数学思想，激发学生学习的兴趣，培养学生归纳总结、解决问题的能力. 四、教学重点、难点

教学重点：圆锥曲线离心率的应用. 教学难点：圆锥曲线离心率的灵活应用. 五、教学与学法

根据本节课的内容是求圆锥曲线离心率专题，复习回顾知识点，归纳总结求离心率的思路和方法。结合高二学生已对数学的学习思想方法有了一定的了解，我采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学，教学中运用多媒体工具来提高直观性和增加趣味性，教学过程中加深对离心率的认识，区分相同点与不同点，提高分析问题、解决问题的能力。

六、教学过程

（一）复习回顾

问题：椭圆、双曲线、抛物线的离心率的定义？

根据a与c的关系，椭圆与双曲线的离心率的范围是多少？

离心率的变化对圆锥曲线的影响？

1、椭圆的离心率

（1）定义:焦距与长轴长的比. 即 eca

A1

F1 B2 A2 F2 B1 （2）范围： ∵a>c>0 ∴0

c∵ ea2b1b2aaa222

若长半轴长a不变，b越小，e越大，椭圆越扁平.反之，越圆. ∴离心率对椭圆形状的影响：

e越大，椭圆越扁. e越小，椭圆越圆.

2、

双曲线的离心率

（1）定义：焦距与实轴长的比. 即 e（2）范围：∵c>a>0 ∴e>1 （3）图像影响：

ca

A1 B2

b A2 cb222eaa2b1b∵ 且为第一、三象限渐近线

a2aa的斜率k.

-a a -b B1 b越大，渐近线的斜率k越大, 倾斜角越大. ab越小，渐近线的斜率k越小, 倾斜角越小. a

∴离心率对双曲线形状的影响：

e越大,双曲线的开口越大. e越小,双曲线的开口越小.

3、

抛物线的离心率

定义：

抛物线上的点M到焦点的距离和它到

准线的距离的比. 由定义可知 e=1

【设计意图】让学生熟练掌握圆锥曲线离心率的定义及几何意义。

F

M

(二)、知识梳理

222椭圆： 0

cacab222c双曲线：

e>1 ecaba

抛物线： e=1

【设计意图】区分相同点与不同点，注意椭圆与双曲线的a、b、c的意义及a、b、c的关系

(三)、应用举例

1、直接确定a、c的值，求离心率e 22xy1xy1例1、（1）椭圆求e. （2）双曲线求e. 1625

1625

22解： 解：

焦点在y轴上a5b4 焦点在x轴上a4b5 又c2a2b235又c2a2b2414c3e c41e分析：给出圆锥曲线确定的标准方程，根据椭圆、双曲线的定义找出a、b，再根据a、b、c的关系找出c，得出离心率.注意若为一般方程要化成标准形式 . 2

，

求e.

变式练习

（1）椭圆

x

2



4

y

1

（2）双曲线 9y24x236，求e 【设计意图】学生练习反馈信息要求会化标准方程，确定焦点在那个轴上，准确求出离心率。

2、找出a、b、c的齐次关系式，求离心率e 例2 若椭圆长轴长、短轴长和焦距构成等差数列，求离心率 解：∵2·2b=2a+2c

∵2b=a+c

∵4b=(a+c)22222 ∴4b=a+c+2ac

由b=a2-c整理得5c+2ac-3a2=0 222

两边同除以a得5e+2e-3=0 即 e或

e=-1（舍）

2235

分析:根据题意直接得出a、b、c的关系，再转化为a、c的关系. 变式练习 （1）

若双曲线实轴长、虚轴长和焦距构成等差数列，求离心率. 解：由题意得

2b=a+c

∴4b2=(a+c)2

∴4b2=a2+c2+2ac

由b2=c2-a2

整理得3c2-2ac-5a2=0

两边同除以a2得3e2-2e-5=0

即

e

5或e1(舍)312yx，求离心率. （2）焦点在x轴上，双曲线的渐近线

解：

∵焦点在x轴上

b1 ∴ ∴ 2b=a

222 ∴ 4b2a2∴

4(ca)aa2

∴

4c5a

22ec5a2【设计意图】通过练习，让学生根据题意直接写出a、b、c的关系并能转化为a、c的关系求出离心率

x2y221（a>0

例3、已知F1、

F2是双曲线 ,b>0）的两个焦点，PQ是经过且垂直于x2ab轴的双曲线的弦∠PF2Q=90°，求离心率.

解：由题意得∠PF2F1 =45°

在Rt⊿PF1F2中

∵|F1F2|=2c

∴|PF1|=2c, |PF2|= 22c

根据双曲线的定义得

∴|PF1|-|PF2|=2a

∴ -222cc=2a

∴

(21)ca

45°

P

F1

F2

Q

c121∴

a21

分析:焦点三角形中找出a、c的关系式.

变式练习

x2y221(ab0)的两个焦点，PQ是经过且垂直于x轴的（1）已知F1 、F2是椭圆 2ab椭圆的弦，若∠PF2Q=90°，求离心率.

解：由题意得∠PF2F1=45°

22c2c2a根据椭圆的定义得

∴ e

c121a21x2y221（a>0 ,b>0）的两个焦点，右顶点为A2，PQ是经过（2）已知F1、

F2是双曲线 2ab且垂直于x轴的双曲线的弦∠PA2Q=90°，求离心率. 解：由题意得∠PA2F1=45°

∵

b2F1A2ac,PF1a ∴在Rt⊿PF1A2中

【设计意图】通过变换例题中的条件让学生进一步理解焦点三角形及圆锥曲线定义的应用。注意有的三角形不是焦点三角形。

(四)、归纳总结

求离心率e的值的基本常用方法

1、

直接法

通过方程直接确定

a、c的值. 若为一般方程化为标准方程. 2、方程法 通过将a、b、c的关系转化为

a、c 的

齐

次方程。若为二次方程，两边同除

以a2

得到关于e的二次方程求解.

b2由ac整理得e2或e1(舍)a

（五）、课后作业

1、复习参考题，A组2，3，4 x2y2（1a>0 2、已知F1 、F2是双曲线 ,b>0）的两个焦点，双曲线恰好通过正三a2b2角形△F1F2A两边F1A、F2A的中点，求离心率.

七、板书设计

圆锥曲线的离心率

一、知识梳理

椭圆

双曲线

抛物线

二、变式练习详解

八、教学反思

这节课所探究的知识思路很清晰，成功的引导学生复习了圆锥曲线的离心率的定义及几何意义,归纳总结了求圆锥曲线离心率的值的基本方法。通过例题分析，轻松顺利的完成了准备的内容。学生积极参与课堂讨论、归纳总结、应用练习，达到了所期望的教学效果。但这节课不足之处是课堂时间有限，学生刚学完三种圆锥曲线，只涉及到了圆锥曲线离心率的值的基本求法，没有涉及圆锥曲线的离心率的范围求法，下节课继续和学生一起归纳总结，综合练习,无论求圆锥曲线的离心率的值还是范围都能达到灵活应用。我也将在以后的教学实践中不断总结经验，努力研究教材，争取迈上新的台阶。

三、求离心率的值的基本方法

1、直接法

2、方程法

四、作业布置