1.2.1 中心投影与平行投影教案评析

鼎城一中2018年下学期高二期中考试试题

理科数学

时量：150分钟

分值：150分

命题人：田诗华

审题人：

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．命题“

”的否定是

（ D ）

A．

B．

C．

D．

2. 古时候，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（

）

A. 336

B.

3603

C. 1326

D. 510

3 已知a，bR

，则“ab”是“a2b2”的（

A

）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为(

)

A．2 016 1C.

2B．2 D．－1 解析：选B.S＝2，k＝0，满足条件k<2 016，则S＝－1，k＝1；满足条件k<2 016，则1S＝，k＝2；满足条件k<2 016，则S＝2，k＝3；满足条件k<2 016，则S＝－1，k＝4；满21足条件k<2 016，则S＝，k＝5；….观察规律，可知S的取值以3为周期变化，当k＝2 0152

＝3×671＋2时，满足条件k<2 016，则S＝2，k＝2 016，结束循环，输出2.故选B.

10．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠

.若AB＝6，BC＝2，则椭圆的焦距为(

C

) A.

B．

C.

D．

12. 已知椭圆线交直线于点，若直线的左顶点为，上顶点为，过椭圆的右焦点作轴的垂的斜率是直线的斜率的倍，其中，为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A.

【答案】D 9. 已知抛物线y24x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则线段AB的中点到y轴的距离为（

C

）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

12.已知

是椭圆

：

A.

B. C. D.

的右焦点，点

在椭圆

上，

线段 与圆

相切于点

，且

，则椭圆

的离心率等于(

A

)．

B.

C.

D.

10. 抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于

、两点，（ ）

点为轴正半轴上任意一点，则A. B. C. D. 【答案】B x2y212．设F，B分别为椭圆221(ab0)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直ab线ybx与椭圆在第一象限内的交点，若FOFCBOBC，则椭圆的离心率是（

）

a

A．221

7B．221

7C．221

3D．21

【答案】A 【解析】

根据FOFCBOBC，由平面向量加法法则，

则有BF为平行四边形FOBC的对角线，故S△BFOS△BFC，

x2y2b联立椭圆221(ab0)、直线yx方程，

aabab,可得C，∵S△BFOS△BFC，则SBOFC2S△BOFbc，

221a1bSBOFCS△BOCS△OFCbcbc，

2222c1221＝可得a221c，∴e＝，故选A．

a2217

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．为了了解高一(10)班53名同学的牙齿健康状况,需从中抽取10名同学做医学检验,现已对53名同学编号为00,01,02,…,50,51,52.从下面所给的随机数表的第1行第3列的5开始从左向右读下去,则选取的第5个号码为_________。41

随机数表如下: 0154

3287

6595

4287

5346

7953

2586

5741

3369

8324

4597

7386

5244

3578

6241

13. 命题“若

或

，则

”的逆命题是

命题（填“真”或“假”）. 13．

真

；

14. 已知空间三点

，

，

，则以形的面积为

．.

13．若命题“

”是假命题，则实数

的取值范围是

．（13）

，

为邻边的平行四边

；

16．已知

是抛物线

上的动点，点

是圆

上的动点，点

是点

在

轴上的射影，则

的最小值是

．3

16. 已知焦距为的双曲线的左右顶点分别为是双曲线上异于的任意两点，若

依次成等比数列，则双曲线的标准方程是__________. 【答案】

【解析】

设，则，

由于成等比数列，则，

又

又，，所以，即.

，即，

，所以，

所以双曲线的方程为

16．已知双曲线

的左、右焦点分别为点

，抛物线

与双曲线在第一象限内相交于点P，若

，则双曲线的离心率为______．

16．四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等438,，SABCD腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为则该四棱锥外接球表面积33的取值范围是______．

28,20

【答案】3【解析】四棱锥SABCD中，

可得：ADSA；ADABAD平面SAB平面SAB平面ABCD，

过S作SOAB于O，则SO平面ABCD，

18设SAB，故VSABCDSABCDSOsin，

3331121，,cos，

所以sin,22332在△SAB中，SAAB2，则有，SB221cos，

所以△SAB的外接圆半径rSB2sin21cos，

sin将该四棱锥补成一个以SAB为一个底面的直三棱柱，

21，

得外接球的半径Rr21，S4R241cos28,20．

所以S328,20．

故答案为3

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．设

：实数

满足

，其中

；

：实数

使得方程

表示双曲线. （1）当

时，若“

”为真命题，求

的取值范围；（2）若

是 的充分不必要条件，求实数

的取值范围. 17、（1）当

时，由

，解得

,

由

，解得

.

因为“

”为真，

∴实数

的值取值范围是

.

（2）

是

的充分不必要条件等价于若

是

的充分不必要条件，

由（1）知，条件

对应的集合为：

.

记满足条件

的实数

的集合为

由题意

.

当

时，

，满足

；

当

时，

或

，满足

；

当

时，

或

，要使

，只需

或

，

.

所以或

. 综上实数

的取值范围为：

或.

17．(本小题满分12分)设x∈(0,4)，y∈(0,4)．

(1)若x∈N*，y∈N*，以x，y作为矩形的边长，记矩形的面积为S，求S<4的概率；

(2)若x∈R，y∈R，求这两数之差不大于2的概率．

解：(1)∵x∈(0,4)，y∈(0,4)，且x∈N*，y∈N*，

∴x∈{1,2,3}，y∈{1,2,3}，

故基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9种，设“S<4”5为事件A，则事件A包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)共5个基本事件，故P(A)＝. 9(2)“设两数之差不大于2”为事件B，

则x－y≤2，y－x≤2,0

事件的全部结果构成边长为4的正方形如图．

116－2××2×22123则P(B)＝＝＝. 1644×4

18．（本小题满分12分）（Ⅰ）已知某椭圆过点

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设椭圆方程为

，求该椭圆的标准方程．

[来源:Z。xx。k.Com]



，解得

，所以椭圆方程为

.

……6分

（Ⅱ）设双曲线方程为

（Ⅱ）求与双曲线

，代入点 ，解得

即双曲线方程为

.

……12分

有共同的渐近线，经过点 的双曲线的标准方程．

19.(本小题满分12分) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，根据试验数据得到下图所示的散点图，其中x表示零件的个数，y表示加工时间（单位：小时）。

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）预测加工8个零件所需的加工时间。

(附：

， （

）) 2＋3＋4＋519.解：（1）x＝＝3.5，

4y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，．．．.....2分

×3＋4×4＋5×4.5－4×3.53.5xy4xy＝2×2.5＋3所以b＝＝0.7.．．.6分

ˆ22＋32＋42＋52－4×3.525x4xiii1422ii142ˆ＝3.5－0.7×3.5＝1.05，ˆybx．．．.....8分

a所以线性回归方程为＝0.7x＋1.05. ．．．.....10分

（2）6.65h ．．．..... 12分

19. 设“关于的不等式上有零点”.

（1）若为真，求a的取值范围；

（2）若为假，为真，求a的取值范围. .(2). ，即可求解实数的取值范围. 的解集为”，“函数在区间【答案】(1)【解析】试题分析：（1）由命题为真，则（2）根据试题解析：

（1）函数是增函数，所以若为真，则，即为真，所以；

，

. 为假，为真，得中一真一假，分类讨论即可求解实数的取值范围. ，解得，解得. ，

（2）若为真，则因为为假，中一真一假，

若真假，则若假真，则综上，的取值范围是

21. （本小题满分12分）如图，四边形 是矩形，四边形 是梯形, ，

，

，

点 平面 平面

是 的中点. （1）求证：

∥平面

；

（2）求二面角

的余弦值．

21.解：（1）证明：连结 ，交 于点

，∴点

是 的中点.

∵点

是 的中点，∴ 是△ 的中位线. ∴

∵

平面 ，

平面 ，∴ 平面 …………………（5分）

（Ⅱ）

四边形

是梯形，

，

又四边形 是矩形，

，

∵平面

平面 ，平面

平面

∴

平面

…………………………………………………………………（7分）

以

为原点，以 、 、 分别为

、

、

轴建立空间直角坐标系，

∴ ， ， ， ，

………………………………（8分）

，

， ∴

.

设平面 的法向量

，

，

. ∴

即

令

，则

，

.∴可取

.…………………………………（10分）

又 是平面 的法向量，

∴

由图可知，二面角

为锐角.

∴二面角

的余弦值是

……………………………………………（12分）

18. 如图,在四棱锥形,且,侧面中,底面⊥底面是边长为2的正方形,侧面. 是等腰直角三角

(1)若(2)棱分别为棱的中点,求证:∥平面成；

的长；若不存在,请说上是否存在一点,使二面角角，若存在,求出明理由. 【答案】(1)见解析( 2)

【解析】

【详解】分析：（1）取边形连结、中点,连结,由三角形中位线定理可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取两两垂直. 以为原点,分别以、、,可证明四中点,正方向为为平行四边形,可得,先证明、、轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设求出平面的法向量，平面的法向量为，利用向量垂直数量积为零列方程组，，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果. 详解：(1)取点为又

中点,连结且,

平面、,∵分别为、中点，∴//,∥, , 又中点,∴平面,∴四边形,∴∥平面是以

为平行四边形,∴. (2)取中点,∴

、中点,连结

,∵

⊥平面为直角的等腰直角三角形,又为⊥平面的,又、,又平面,∴⊥,由面面垂直的性质定理得、、平面,由已知易得:两两垂直. 以为原点,分别以正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,

则则:,,则,令,∴. ,设. , ,则

, 设平面ABF的法向量为∴又平面的法向量为,由二面角成角得:,

∴,解得:,或不合题意,舍去

.∴,当棱上的点满足时, 二面角成角.

的准线方程为

，点

为坐标原点，不22. （本小题满分12分）已知抛物线

过点

的直线

与抛物线

交于不同的两点A,B．

（1）如果直线

过点

，求证：

；

（2）如果 ，证明：直线 必过一定点，并求出该定点．

22.解：（1）抛物线

的准线方程为

，

所以抛物线

的方程为

………………………………………………（1分）

因为直线

过点 ，故可设直线

的方程为

，代入抛物线中

得

，

……………………………………………………………（2分）

设

则

，

……………………………………………………………（3分）

，

所以

…………………………………………………………………（4分）

所以 即

…………………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）设直线

的方程为

代入到抛物线方程整理得

……………………………………（7分）

设

根据韦达定理

，

，

……………………………………（8分）

因为

即

……………………………………………（10分）

解得

，

（

舍去）

………………………………………………（11分）

所以直线

的方程为

所以不论

为何值，直线

恒过定点 ．…………………………………………（12分）

22. （12分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形．

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；

(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程．

来源:gkstk.Com]

x2y222、解析

(1) 如图，设所求椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．

因△AB1B2是直角三角形，

又|AB1|＝|AB2|，

故∠B1AB2为直角，

c因此|OA|＝|OB2|，得b＝2. 结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，

c2故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝a＝55. 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，

1c故S△AB1B2＝2·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝2·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从x2y2而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：20＋4＝1.

5分

(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，

4m16因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，

m2＋5m2＋5→→又B2P＝(x1－2，y1)，B2Q＝(x2－2，y2)，

→→所以B2P·B2Q＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16 16m2＋116m2－6416m2＝－－＋16＝－，

m2＋5m2＋5m2＋5→→由PB2⊥QB2，得B2P·B2Q＝0，

即16m2－64＝0，解得m＝±2. 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

12分

20. 已知椭圆轴长为直径的圆与直线（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于存在定点，使得由. 【答案】（1）；（2）定点为. ，再根据圆心到切线距离等于半径得两点，探究在轴上是否的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长相切. 为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理【解析】试题分析：（1）由椭圆几何意义得

，解得，（2）先根据向量数量积化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人化简得性确定点的坐标及定值

，最后根据k的任意试题解析：（1）由题意知，，解得，

则椭圆的方程为. , ，

（2）当直线的斜率存在时，设直线联立，得∴. 假设轴上存在定点∴，使得为定值，

. 要使解得为定值，则，此时的值与无关，∴为定值，定点为. ，

2x2y2在椭圆上，椭圆的左22．已知椭圆C的方程为221(a0,b0)，P1,ab2顶点为A，左、右焦点分别为F1,F2，PAF

1的面积是POF2的面积的21倍．（1）求椭圆C的方程；（2）直线ykx(k0)与椭圆C交于M，N，连接MF1,NF1

并延长交椭圆C于D,E,连接DE，指出kDE与k之间的关系，并说明理由．

22、（1）由又的面积是，所以，

的面积的倍，可得，即，

由在椭圆上，可得，所以，可得，，所以椭圆的方程为．

（2）设，则，

故直线的方程为，

由消去整理得，

又，代入上式化简得，

设，，则，所以，．

又直线所以

的方程为，同理可得，．

，

所以

．