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章末复习课

1.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，

而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程. 2.点与圆的位置关系

(1)点在圆上

①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上

①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足

F(x，y)<0，则该点在圆内. ②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内. 注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r. 3.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形. (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线. ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意. (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数. 4.圆与圆的位置关系

两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断). (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长. (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 5.空间直角坐标系

(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组

(x，y，z)一一对应. (2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离

|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2. (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.

方法一

函数与方程思想

函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a，b，r(或D，E，F).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程. 1322【例1】

求圆心在圆x－2＋y＝2上，且与x轴和直线x＝－2都相切的圆的方程. 解

设圆心坐标为(a，b)，半径为r，

11322因为圆x－2＋y＝2在直线x＝－2的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－2都1相切，所以a＞－2. 1所以r＝a＋2，r＝|b|. 322又圆心(a，b)在圆x－2＋y＝2上，

1a＝2，r＝|b|，32所以a－2＋b＝2，联立解得r＝1，

32a－2＋b＝2.b＝±1.221r＝a＋，212122所以所求圆的方程是x－2＋(y－1)＝1，或x－2＋(y＋1)2＝1. 【训练1】

已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1

＝0相切，求圆的方程. 解

法一

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

ED其圆心为－2，－2. ∵圆过点A(2，－1)，∴5＋2D－E＋F＝0，①

又圆心在直线2x＋y＝0上，

DE∴2·－2＋－2＝0，即2D＋E＝0.②

将y＝x－1代入圆方程得

2x2＋(D＋E－2)x＋(1－E＋F)＝0. Δ＝(D＋E－2)2－8(1－E＋F)＝0.③

将①②代入③中，得(－D－2)2－8(1－2D－5)＝0，

即D2＋20D＋36＝0，

∴D＝－2或D＝－18. D＝－2，D＝－18，代入①②，得E＝4，或E＝36，

F＝3，F＝67.故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 或x2＋y2－18x＋36y＋67＝0. 法二

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). ∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，

即圆心为(a，－2a). 又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，

|a＋2a－1|∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，

2即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，

解得a＝1或a＝9. ∴a＝1，b＝－2，r＝2或a＝9，b＝－18，r＝132，

故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，

或(x－9)2＋(y＋18)2＝338. 方法二

数形结合思想

数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度. 【例2】

已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. (1)求y－2的最大值与最小值；

x－1(2)求x－2y的最大值与最小值. 解

(1)显然y－2y－2可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率.令＝k，如图x－1x－1所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率.

对上式整理得kx－y－k＋2＝0，

|－2k＋2－k|3±3∴＝1，∴k＝4. 1＋k2y－23＋33－3故的最大值是4，最小值是4. x－1(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得. |－2－u|依题意，得＝1，解得u＝－2±5，

5故x－2y的最大值是－2＋5，最小值是－2－5. 【训练2】

当曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(

)

5A.0，12

53C.12，4



13B.3，4

5D.12，＋∞

解析

曲线y＝1＋4－x2是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2，4)的直线.

设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0，1)到直线PC的距离等于半径2，即|－1－2k0－4|53＝2，k＝.直线PA的斜率为k＝.

0121241＋k053所以，实数k的取值范围是12

答案

C 方法三

分类讨论思想

分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论. 【例3】

已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋

(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程. 解

圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5. ①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意. ②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，

即kx－y＋4k－3＝0. |－k＋2＋4k－3|282＋2＝52，

由题意可知21＋k4解得k＝－3，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0. 综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.

【训练3】

如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.

(1)求圆A的方程；

(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程. 解

(1)设圆A的半径为r. |－1＋4＋7|由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝＝25. 5∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.

(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN. |k－2|3∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1，则由|AQ|＝2＝1，得k＝4. k＋1直线方程为3x－4y＋6＝0. 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.

1．(2016·北京高考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(

) A．1

B．2

C.2

D．22 解析

圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则

圆心到直线的距离d＝答案

C |－1－0＋3|22＝2. 1＋（－1）2.(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(

) A.－2或12

C.－2或－12

B.2或－12 D.2或12 解析

圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴故选D. 答案

D 3.(2015·北京高考)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(

) A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 |3×1＋4×1－b|＝1.解得b＝2或b＝12，223＋4解析

圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 答案

D

4.(2015·全国Ⅱ)已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(

) 5A.3

21B.3

25C.3

4D.3

解析

由点B(0，3)，C(2，3)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①

由点A(1，0)，B(0，3)，得线段AB的垂直平分线方程为

331y－2＝3x－2，②

21，

3，

联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为3其到原点的距离为

答案

B 21221＋3

3＝3.故选B. 2

5.(2014·浙江高考)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(

) A.－2

B.－4

C.－6

D.－8 解析

圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a

∴圆心坐标(－1，1)

半径r2＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝∴22＋(2)2＝2－a，解得a＝－4. 答案

B 6．(2016·全国Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．

解析

圆C：x2＋y2－2ay－2＝0即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)C到|0－a＋2a||a|232|a|2＋＝直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又由|AB|＝23，得2222a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.

答案

4π

7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________．

x－3y＋6＝0，解析

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由22得y2－33y＋6＝0，则y1＋x＋y＝12，y2＝33，又y2＝23，∴y1＝3，

∴A(－3，3)，B(0，23)．过A，B作l的垂线方程分别为y－3＝－3(x＋3)，y－23＝－3x，令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4. 答案

4

8.(2015·重庆高考)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________. 解析

点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x2＋y2＝5，设所求|－k＋2|直线为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，圆心到直线的距离d＝2＝5，k＋1|－1＋1＋2|＝2

2

115解得k＝－2，∴直线为－2x－y＋2＝0，即x＋2y－5＝0. 答案

x＋2y－5＝0 9.(2015·浙江高考)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________. 解析

因为实数x，y满足x2＋y2≤1，则2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝－3x－4y＋10.令z＝－3x－4y＋10，则3x＋4y－10＋z＝0.当直线3x＋4y－10＋z＝0与圆x2＋y2＝1相切时，z取最值，|z－10|故5＝1，∴z＝5或z＝15，

∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值为15. 答案

15