复习参考题教学设计及教案分析

简单空间几何体的外接球问题教学设计

永年区第二中学

马静辉

一、

教学内容解析

本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。

本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。

二、教学目标设置

知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题

2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。

情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。

三、学生学情分析

多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。

四、教学过程设计

（一）、新课引入

1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.

2、学生活动：展示长方形外接圆的求法

学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为

60。 ，则四面体ABCD的外接球的半径为(

). 【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等

那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。（根据球的定义确定球心）

【注】：小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心

设计意图：通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义，通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。产生出本节课解决外接球问题的第一种方法：定义法。

3、牛刀小试：

(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________。

（2）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面(

) A．16π B．4π C．8π D．2π

设计意图：通过两个小题其中一个高考题让学生体会利用定义找球心解决球问题的过程。

（二）外接球的解决策略二

1、我问你答：

（1）长方体一定有外接球吗？

（2）长方体外接球的球心在哪？

（3）长方体的体对角线长如何求？

学生回答：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则labc2R222

【设计意图】：通过类比长方形的外接圆半径的求法自然得到长方体外接球半径的求法，通过策略一种球心的确定也很好的验证了这一结论。

2、构造长方体模型的方法. 例题展示：

例1：在三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC两两垂直，且SA=3,SB=4，SC=5，则求三棱锥的外接球的半径。

合作探究：

(1)在三棱锥SABC中，SA平面ABC,ABBC，且SA=3，AB=4,BC=5,求三棱锥S-ABC的外接球的表面积。(2)在三棱锥S-ABC中，SABC5,SBAC34,SCAB41，求三棱锥SABC的外接球的表面积。(3)在三棱锥PABC中，底面ABC是正三角形，侧面PAB是直角三角形，且PAPB2，PAAC.则三棱锥外接球的表面积为( ).

3、小结（构造长方体模型）

1

1.在三棱锥中具备两两垂直的三条棱时，可以将三棱锥补形成长方体。（或有一条棱和底面垂直，底面上有一个直角）

2.在三棱锥中对棱两两相等时,也可补形成长方体。

3.根据多面体的几何特征灵活构造。

设计意图：通过例题展示，学生合作探究，从理论和实践上掌握补成长方体模型的方法。并通过学生的探究让他们自己总结适合这种方法的情况。让学生体会发现问题并解决问题的快感。

（三）外接球的解决策论三

1、平面向空间的类比：

预备知识一：一平面截球，得到截面为圆面，当截面不经过球心时，球心与截面圆心连线与截面垂直

预备知识二：任意三角形外接圆半径的求法

abc2R正弦定理：sinAsinBsinC

2、例题展示

例2 在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，AA1平面ABCAA18，AB33，求其外接球的体积。例3 在三棱锥A中，A31ABC1A平面ABC,三角形ABC为边长为3的正三角形，求其外接球的体积。例4 正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为

。

3、对接高考

（2013年）已知H是球O的直径AB上的一点，AH:HB1：2,AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为（ ）

4、小结：

利用球的截面性质解决外接球问题

1、直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点

设柱体的高为l,底面外接圆的半径为r,则有Rlr22222、正棱锥的外接球的球心在其高线上，具体位置可通过直角三角形运用勾股定理计算得到

设椎体的高为h,底面外接圆的半径为r,则有Rr2hR

【设计意图】：通过类比思路得到球的截面性质，同过三个例题层层递进体会如

2

何用截面性质解决外接球问题的过程。

(四）当堂检测

求棱长为1的正四面体外接球的体积。（用多种方法）

【设计意图】通过简单的检测让学生整体理解这节课所讲的三种方法。

3、课堂小结

由学生来总结本节课主要内容。检验学生的学习效果。

（1）在空间中，如果一个顶点与一个简单多面体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单多面体的外接球的球心。

（2）在三棱锥中具备两两垂直或对棱两两相等时,可补形成长方体使问题得到简化。 （3）利用球的截面性质。

（4）数学思想：类比平面圆的特征，学习空间球的性质。

【设计意图】学生回顾总结本节课所学内容，培养学生归纳总结的能力以及语言表达的素养. 5、作业

（1）总结空间几何体的外接球的半径的求法

（2）思考正方体和正四面体的内切球怎样求

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