2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计实例

2.1.4 平面与平面之间的位置关系

学习目标

1．了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系．

2．了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系．

3．会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面之间的位置关系．

基础知识

1．空间中直线与平面的位置关系

(1)位置关系：有且只有三种

①直线在平面内——有____个公共点；

②直线与平面相交——____________公共点；

③直线与平面平行——____公共点．

直线与平面____或____的情况统称为直线在平面外．

归纳总结

“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．

(2)符号表示：直线l在平面α内，记为______；直线l与平面α相交于点M，记为________；直线l与平面α平行，记为______．

(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．

名师点拨

一般地，直线l在平面α内时，应把直线l画在表示平面α的平行四边形内，如上图a；直线l与平面α相交时，应画成直线l与平面α只有一个公共点，如上图b；直线l与平面α平行时，应画成直线l与表示平面α的平行四边形的水平边平行，如上图c. 做一做1－1直线m∥平面α，则m与α的公共点有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个

做一做1－2直线l与平面α有两个公共点，则(

)

A．lα

B．l∥α

C．l与α相交

D．l∈α

2．两个平面之间的位置关系

(1)位置关系：有且只有两种

①两个平面平行——____公共点；

②两个平面相交——有__条公共直线．

(2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为____________．

(3)图示：两个平面α，β平行，如图a所示；两个平面α，β相交于直线l，如图b所示．

名师点拨

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．

做一做2－1若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．重合

D．不确定

做一做2－2若平面α和平面β无公共点，则α和β的位置关系是__________．

重点、难点

1．两个相交平面的画法

剖析：

2．培养空间想象能力的途径

剖析：空间想象能力是指能根据条件画出正确的图形，能根据图形想象出其直观形象，能对图形进行分解组合与变形．空间想象能力提高的一个重要标志是能构造满足要求的立体图形，从而将抽象的东西变得具体化．培养空间想象能力有多种途径，例如多熟悉生活中常见几何体的形状，以及它的投影，几何体上线的位置等．另外，解立体几何题时，比如直线与几个平面之间的位置关系，你可以把手中的笔当成直线，把课桌或者课本当作平面，这样就将抽象的东西变得具体了．平时，动手做一些立体模型，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、正四面体等几何体模型，这些都是提高空间想象力的途径．

典型例题

题型一：判断直线与平面的位置关系

例1如图所示，A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？

反思：本题利用定义确定了直线与平面的位置关系，这种方法称为定义法．关于判断位置关系的判断题，应尽量结合图形来解决．

题型二：判断两个平面之间的位置关系

例2如图所示，平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？

反思：判断两个平面之间的位置关系时，根据定义，只需判断这两个平面是否有公共点即可．若有公共点，则它们相交，否则，它们平行．

随堂练习

1．圆柱的两个底面的位置关系是(

) A．相交

B．平行

C．平行或异面

D．相交或异面

2．圆台的母线与圆台的底面的位置关系是(

) A．相交

B．平行

C．母线在底面内 D．异面

3．棱柱的任意两个侧面的位置关系是(

) A．相交

B．平行

C．平行或异面

D．平行或相交

4．两条直线不相交，则两条直线可能平行或者异面；如果两个平面不相交，则两个平面__________．

5．已知直线l∩平面α＝A，直线mα，画图表示直线l和m的位置关系．

参考答案

基础知识

1．(1)①无数

②有且只有一个

③没有

相交

平行

(2)lα

l∩α＝M

l∥α

做一做1－1

A 做一做1－2

A 2．(1)①没有

②一

(2)α∩β＝l

做一做2－1

B 做一做2－2

平行

典型例题

例1

解：∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，

∴直线A′B在平面ABB′A′内．∵直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B，∴直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交．∵直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，∴直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．

∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，

∴直线A′B与平面DCC′D′平行．

例2

解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，

∴平面ABC与平面A1B1C1平行．

∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，

∴平面ABC与平面ABB1A1相交．

同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．

随堂练习

1．B

2.A

3.D

4.平行

5．解：直线l和m的位置关系有异面和相交两种情况．l和m异面，如图a所示；l和m相交，如图b所示．