习题4.1教案教学设计导入整理

圆的方程习题4.1教学设计

教学目标： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法和直接法求圆的标准方程。

3.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

4 .了解阿波罗尼斯圆及数学家阿波罗尼斯

教学重点：掌握圆的标准方程的形式，圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F．了解阿波罗尼斯圆及其方化前景。

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程，对圆的一般方程的认识、掌握和运用。

教学用具：多媒体，三角板，几何画板。

教学方法：

引导探究，启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来探究，并渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法。

教学过程

一、情境设置，复习回顾：

圆的标准方程：

圆的一般方程

2＋

2－ ＞ 222(xa)(yb)r注意：一、圆心为A(a,b),半径为r的圆

二、

DE（1）

当D2＋E2－4F＞0时，方程② 表示以（-2，-2）为圆心,1D2E24F2为半径的圆；

22（2）当DE4F0时，方程只有实数解xDEy2，2，即只表示DE一个点（-2，-2）; 22（3）当DE4F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

王新敞22xyDxEyF0表示的曲线不一定是圆

只有当综上所述，方程王新敞D2E24F0时，它表示的曲线才是圆，

问题：那么圆的标准方程与圆的一般方程有什么联系呢？它们之间能不能

相互转化呢？

学生作答：圆的标准方程可以展开整理成圆的一般方程，而圆的一般方程可以通过配方转化为标准方程。

二：基础练习

（1）圆C：x 2+ y2- 2x- 5=0的圆心坐标是_______ ，半径长为__________. （2）圆心为点C（8，－3），且过点A（5，1）的圆的方程____________。

答案：（1）（－1，0）

，

（2）（

）

本组题本要对圆标准方程与一般方程两种形式的考查，注意符号与次数，强调几何形式，一般方程可以用公式求出圆心与半径，也可以用配方的方法转化为标准式，写出圆的方程求圆心与半径。已知一些条件可以求圆的方程。

三

能力提升

【例1】(习题4.1A组3)已知圆C的圆心在直线x－2y－1＝0上，并且经过原点和A(2，1)，求圆C的标准方程．

师生共同分析：圆的标准方程是

，所以必须求出圆心与半径，第一个条件是圆的坐标的关系，第二条件是点在圆上，点的坐标满足圆的方程。

222（xa）(yb)r解法一：设所求圆的标准方程为

由条件知

解得

62129（x）(y)251020

故所求圆的标准方程

解法二：线段OA的中点P（1，

），kOA=

, 所以弦OA的垂直平分线的斜率k=-2, 线段OA的垂直平分线方程为y-

=-2(x-1)，

即4x+2y-5=0

x2y10圆心C的坐标是方程组 的解

4x2y50

所以C（

，

）

解得

半径r=

=

=

621229（x）(y)即所求圆的标准方程为

51020

解法三：

∵ 圆心C在直线

l

:



2

y



1

0

上，

x∴

可设点C的坐标为

（2a1,a）又∵该圆经过A，O两点，∴

∴

OCAC(2a10)2(a0)2(2a12)2(a1)211061510aC解得 , ∴ 圆心坐标为

（

，

）

,

61半径为

rOC(0)2(0)2510

292062129即所求圆的标准方程为

（x）(y)251020

例题小结

求圆的标准方程的方法: (1)待定系数法: ①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程

(2)直接法（几何法: ）

①一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.

②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.

四

巩固练习

（1）已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，求圆C的标准方程．

（2）求过A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)点的圆.

（1）答案（

）+

=10 （2）答案

+

- 4x - 2y - 20=0

或（

）+

=25

五

合作探究

圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

问题：符合其它条件的点组所成的图形会是圆吗？

例

：已知点

与两个定点

的距离的比为

，求点M的轨迹方程。

解：设点M的坐标为(x,y). 1依题有 O（0,0），A（3,0）2MA

MO

MO



2x2y2,MA（x3）y2x2y2(x3)2y212

化简得

x2y22x302



M的轨迹方程是

xy22x30

思考：距离之比取其它值，点M的轨迹方程还是圆吗？

分组练习

已知点

与两个定点

的距离的比为

，求点M的轨迹方程。

答案：

，是圆

已知点

与两个定点

的距离的比为

，求点M的轨迹方程。

答案：

,是直线

已知点

与两个定点

的距离的比为

，求点M的轨迹方程。

答案：

，是圆

思考：距离之比取其它值，点M的轨迹方程还是圆吗？

几何画板演示阿波罗尼斯圆

得出结论，已知点

与两个定点

的距离的比为不是1的正实数，则M的轨迹是圆

数学历史文化

在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ，

当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。（圆的第二定义）

阿波罗尼斯

阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga，约公元前262~190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地

六 课堂总结

一、圆的方程的二种形式

二、如何求圆的方程

三、了解阿波罗尼斯圆（圆的第二定义）

只有科学才是真学问，将来用处无穷！