习题4.2公开课教案

8.4直线、圆的位置关系

一、教学目标

1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

二、教学重点：直线与圆的位置关系、圆的切线方程、圆与圆的位置关系

教学难点：圆的切线方程、圆的性质运用

三基础自测

1．直线x＋y＝5和圆O：x2＋y2－4y＝0的位置关系是A A．相离

B．相切

C．相交不过圆心

D．相交过圆心

2．>直线ax－y＋2a＋1＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是B A．相离

B．相交

C．相切

D．不确定

→3．>已知直线x－y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝4交于不同两点A、B，O为坐标原点，若向量OA、→→→→→OB满足|OA＋OB|＝|OA－OB|，则a等于B 1A．±1

B．±2

C．±

D．±3 2l4．两圆相交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆圆心在直线l：x－y＋＝0上，则m＋c的值是D 2A．－1

B．0

C．2

D．3 5．>已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为________．(x－3)2＋y2＝4

四、教学过程（画图讲解）

1．直线与圆的位置关系有三种：

判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：

①代数法：利用判别式（讲清原理）

②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系

d

d＝r⇔

d>r⇔

圆心x0,y0直线l:AxByC0

d＝Ax0By0CAB22

2．圆的切线方程（点在圆上、园外，切线条数）

点到直线距离等于半径

切线长公式

若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为

3．直线与圆相交

l（1）几何法：若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有

r＝d

2222

即l＝2r2d2

(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：

|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]. 求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．

4．两圆位置关系的判断

两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)的圆心距为d，则

(1)d>r1＋r2⇔两圆

；

(2)d＝r1＋r2⇔两圆

；

(3)|r1－r2|

；

(4)d＝|r1－r2|( r1≠r2)⇔两圆

；

(5)0≤d<|r1－r2|( r1≠r2)⇔两圆

5．两圆公共弦所在直线方程（两圆相交）

两圆作差所得结果就是所求；两圆公切线条数

圆外点到圆上点距离最值分析

五、例题分析

考点一

直线与圆的位置关系22

【例1】

m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x＋y=5

（1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直

1．(13·陕西)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(

B

) A．相切

C．相离

B．相交

D．不确定

2．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(

C

) A．－3＜m＜1

C．0＜m＜1

B．－4＜m＜2 D．m＜1 解析：∵圆x2＋y2－2x－1＝0可化为(x－1)2＋y2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2，

|1－0＋m|∴d＝＜2，∴|m＋1|＜2，

2∴－3＜m＜1，由题意知m的取值范围应是(－3,1)的一个真子集，故选C. [类题通法]

判断直线与圆的位置关系常见的方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

考点二

切线、弦长问题

[典例]

(1)(2013·山东高考)过点M(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(

A

) A．2x＋y－3＝0

C．4x－y－3＝0

B．2x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 [解析]

根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的1斜率为，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2. 2另：写出以M为圆心MA为半径的圆，两圆作差

(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为___22_____．

[解析]

最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为2r2－d2＝222－22＝22.

[类题通法]

1．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．

2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．

[针对训练] 1．(14·大纲全)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l14与l2的夹角的正切值等于________．

32．(14·重庆)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________0或6 3．(14·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.4±15

考点三

圆与圆的位置关系

[典例]

(2014·郑州一检)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．

[解析]

由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1⊥25×5AO2，在直角三角形AO1O2中，(25)2＋(5)2＝m2，∴m＝±5，|AB|＝2×＝4. 5

解：由本例可知m＝±5.当m＝5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①

⊙O2：x2＋y2＋10x＋5＝0.② ②－①得，x＝－1，即AB所在直线方程为x＝－1. 当m＝－5时，⊙O1：x2＋y2＝5，① ⊙O2：x2＋y2－10x＋5＝0.②

②－①得，x＝1，即AB所在直线方程为x＝1. ∴AB所在的直线方程为x＝1或x＝－1. [类题通法]

1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．

2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．

[针对训练]

与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有(

) A．1条

C．3条

B．2条

D．4条

在本例条件下求AB所在的直线方程. 解析：选C

由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为－2－22＋2－52＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.

【例3】(11·全国)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝

(C ) A．4

B．42 C．8

D．82

3．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为C A．－6

B．－3 C．－32

D．3

题型四

直线与圆的综合应用

【例4】

(11·新课标)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

强调数形结合思想

【经典考题】(12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由.

六、小结

1．直线与圆的位置关系问题

讨论直线与圆的位置关系问题时，要养成作图的习惯，运用数形结合的思想，综合代数的、几何的知识进行求解．一般说，运用几何法解题运算较简便，但代数法更具一般性．

2．圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系重点依据圆心距d和两圆半径r1，r2的关系判断，要注意两圆的位置关系与两圆公切线条数的依附关系．

3．直线与圆相切时切线的求法

(1)求过圆上的一点(x0，y0)的圆的切线方程

1先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得k切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程

①几何方法：

当k存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．

②代数方法：

设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．

以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形可得．

七、教学反思：学生对求切线方程还不是很理解，弦长公式遗忘。在本节复习时，自己多强调几何法判断直线与圆的位置关系、几何法求弦长，以及涉及与圆的问题时，强化画图思想。

重心侧重直线与圆相切问题的分析。公共弦例题涉及有。2015-10-22本节课两节安排，以画图为知识线索，画出直线与圆的三种关系，在各自关系中透漏出：圆上的点到直线距离最值；切线方程求解；弦长公式分析计算。圆与圆的位置画出图形，展示判断的依据，并分析切线条数及两圆相交时公共线所在直线方程求解。

八、学生错题集

2221.已知圆

x＋y－6mx－2(m－1)y＋10m－2m－24＝0

（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离？（3）求证：任何一条平行l与且与圆相交的直线被各圆截得弦长相等

2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(

)

A．相离

B．相交

C．外切

D．内切

3．已知点P(1，－2)，以Q为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA，PB，则∠APB的余弦值为________．

4. 已知圆C过点P(1,1)，且与圆M: (x+2)2＋(y+2)2＝r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称。

（1）求圆C的方程；

（2）设Q为圆C上一个动点，求PQMQ的最小值；

（3）过点P做两条相异直线分别与圆C交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行，说明理由。

2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为

(

)

A．x＋3y－2＝0

B．x＋3y－4＝0

C．x－3y＋4＝0

D．x－3y＋2＝0 3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(

)

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

4．(教材习题改编)直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＋4x－4y－8＝0截得的弦长等于________．

5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为________，公共弦长为________ 6．已知直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围为(

) 33

A．[－，0]

B．[－，1] 4431

C．[2，2]

D．[－，] 42

1．把直线y＝3x绕原点逆时针转动，使它与圆x2＋y2＋23x－2y＋3＝0相切，则直线转3动的最小正角是

πA.

3

πB.

25πD.

62πC.

3|1＋3k|解析：由题意，设切线为y＝kx，∴＝1，∴k＝0或k＝－3，∴k＝－3时转1＋k22πππ动最小，∴最小正角为－＝，选B. 362

2．若直线将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，但不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是

A．[0,2]

B．[0,1] 1D．[，1] 21C．[0，]

2解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆过坐标原点，直线l将圆平分，也就是直线l过圆心(1,2)．当直线过圆心与x轴平行时，或者直线同时过圆心与原点时都不经过第四象限，并且当直线l在这两条直线之间时也不经过第四象限．当直线过圆心与x轴平行时，k＝0；当直线同时过圆心与原点时，k＝2.所以当k∈[0,2]时，满足题意．故选A. x2y23．以抛物线y＝20x的焦点为圆心，且与双曲线－＝1的两条渐近线都相切的圆的1692方程是

A．x2＋y2－10x＋9＝0

B．x2＋y2－10x＋16＝0 C．x2＋y2－20x＋64＝0

D．x2＋y2－20x＋36＝0 x2y2解析：由双曲线方程可得，双曲线的渐近线方程为－＝0，即3x±4y＝0，抛物线y2169＝20x的焦点为(5,0)，由点到直线的距离公式得圆的半径r＝3.故圆的方程为(x－5)2＋y2＝9，即x2＋y2－10x＋16＝0，选B. 4．定义一个对应法则f：P′(m，n)→P(m，n)(m≥0，n≥0)．现有点A′(1,3)与B′(3,1)，点M′是线段A′B′上一动点，按定义的对应法则f：M′→M.当点M′在线段A′B′上从点A′开始运动到点B′结束时，点M′的对应点M所经过的路线长度为(

) πA.

4

πB.

3

πC.

2

2πD.

3解析：由题意知线段A′B′所在直线的方程为：x＋y＝4，设M(x，y)，则M′(x2，y2)，π从而有x2＋y2＝4，易知A′(1,3)→A(1，3)，B′(3,1)→B(3，1)，不难得出∠AOx＝，∠BOx3ππππ＝，则∠AOB＝，点M′的对应点M所经过的路线长度为2×＝，选B. 6663115．已知圆C：x2＋y2＝1，直线l过点P(，)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝3，22则直线l的方程为__________．

1解析：①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝，直线l与圆C的两个交点坐标21313为(，)和(，－)，|AB|＝3，满足题意．

22221111②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y－＝k(x－)，即kx－y－k＋＝0. 2222

设圆心到此直线的距离为d，则1直线方程为y＝. 2311＝1－d2，得d＝，＝2，则k＝0，故所求222k＋11k|－|2211综上所述，所求直线方程为y＝或x＝. 226．设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线nx－my＋4＝0对称，m>0，n>0，则mn的最大值等于__________．

解析：曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为

(－1,3)，半径为3的圆．∵点P、Q在圆上且关于直线nx－my＋4＝0对称，

∴圆心(－1,3)在直线上，代入得n＋3m＝4，又m>0，n>0，则n＋3m＝4≥23mn，

4∴0

37．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．

解：用待定系数法求圆的方程，设圆的方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r. ∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，

∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上，∴a＋2b＝0，①

(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②

又直线x－y＋1＝0截圆所得的弦长为22，

a－b＋12∴r2－()＝(2)2.③

2解由方程①、②、③组成的方程组得：

b＝－3，a＝6，r2＝52，

b＝－7，或a＝14，r2＝244.

∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244. 8．圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．

(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；

(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．

解：(1)由两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，

r2＝|O1O2|－r1＝2(2－1)，

故圆O2的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2，

两圆的方程相减，

即得两圆内公切线的方程x＋y＋1－22＝0.

2(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r2，

∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，

此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r22－8＝0①

1作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝2，

2|O1H|＝2，由圆心(0，－1)到直线①的距离得

|r22－12|2＝2，得r22＝4或r2＝20，

42故圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 1．(2012·珠海模拟)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是(

) A．3x＋4y－1＝0 B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0 C．3x＋4y＋9＝0 D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0 解析：设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0. ∵直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，

∴|－4＋m|＝1.∴|m－4|＝5.∴m＝－1或m＝9. 32＋42∴直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0. 2．(2012·江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为(

) A．2x＋y－3＝0

C．x＋2y－3＝0

B．x－2y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 1解析：圆心C(3,0)，kCP＝－，由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，所以弦MN所在直线方2程是y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 3．(2012·济南模拟)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为(

) A．－1或3

C．－2或6

B．1或3

D．0或4 |a－2|解析：圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，

2|a－2|22则(2)2＋＝2，∴a＝0或4. 24．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小

值为(

) A.2

C．2

B.3 D．3 解析：设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令x＝110，y＝0得A(，0)，B(0，)，

x0y0∴|AB|＝11112＋2＝≥22＝2. x0y0x0y0x0＋y025．(2012·郑州模拟)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，ON

(O为坐标原点)等于(

) 则OM·A．－7

C．7

B．－14 D．14 解析：记OM、ON的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于7. 6．已知点P在直线3x＋4y－25＝0上，点Q在圆x2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．

解析：设圆x2＋y2＝1的圆心为点O，则O为(0,0)，O点到直线3x＋4y－25＝0的距离|25|d＝＝5，故该直线与圆O相离，则|PQ|的最小值为d－1＝5－1＝4. 57．(2012·淄博模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．

解析：由题可知，设圆心的坐标为(a,0)，a>0，则圆C的半径为|a－1|，圆心到直线l|a－1||a－1|2的距离为，根据勾股定理可得，()＋(2)2＝|a－1|2，解得a＝3或a＝－1(舍去)，22所以圆C的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0. 8．求过点P(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1,2)的圆的方程．

解：设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，

则A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，

因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1,3)，

n－22－3m－1＝1＋1，则

m－12＋n－22＝m－42＋n＋12＝r.解得m＝3，n＝1，r＝5，

所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5. |c|117ON＝3×3cos2θ＝－cosθ＝，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，OM·22＝1，339a＋b

9．已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．

解：设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，

1＋n－2＋m2＝2＋1，则由n－11＝－1m＋2·

2m＝0，⇒

n＝－1.

|－4－11|故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3，

9＋16|AB|2所以圆C的半径的平方r＝d＋＝18. 42故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18. 10．(2011·盐城一模)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．

(1)求圆C的方程；

(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ·MQ的最小值；

(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

解：(1)设圆心C(a，b)，

a－2b－22＋2＋2＝0，则b＋2a＋2＝1

a＝0，解得

b＝0.

则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2. (2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且PQ·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋yMQ＝(x－1，y－1)·－4＝x＋y－2，

所以PQ·MQ的最小值为－4. (3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，

y－1＝kx－1PB：y－1＝－k(x－1)，由22，

x＋y＝2

得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0. 因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，

k2－2k－1故可得xA＝. 1＋k2

k2＋2k－1同理，xB＝，

1＋k2则kAB＝

yB－yA－kxB－1－kxA－12k－kxB＋xA＝＝＝1＝kOP. xB－xAxB－xAxB－xA所以，直线AB和OP一定平行．

第八章

第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系

[课下作业] [时间40分钟，满分80分] 一、选择题(每题6分，共30分) 1．(2013·珠海模拟)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是D A．3x＋4y－1＝0 B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0 C．3x＋4y＋9＝0 D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0 解析

设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0. ∵直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，

|－4＋m|∴2＝1. 3＋42∴|m－4|＝5.∴m＝－1或m＝9. ∴直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0. 答案

D 2．(2012·江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为D A．2x＋y－3＝0

C．x＋2y－3＝0

B．x－2y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 1解析

圆心C(3,0)，kCP＝－2，由kCP·kMN＝－1，

得kMN＝2，

所以弦MN所在直线方程是y－1＝2(x－1)，

即2x－y－1＝0. 答案

D 3．(2013·西安模拟)直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是A A．(0，2－1)

B．(2－1，2＋1) D．(0，2＋1) C．(－2－1，2＋1)

解析

圆的圆心为(0，a)，半径为a，

∵直线与圆没有公共点，

∴|a－1|＞a，解得0＜a＜2－1. 2答案

A 4．(2013·房山一模)直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是B 12A.－∞，－5

12C.－∞，5



12B.－∞，－5

12D.－∞，5

解析

圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离为

d＝|k＋5|，

1＋k2圆的半径r＝2，

∴|MN|＝2r－d＝2解得k≤－答案

B 5．(2013·沈阳模拟)已知圆C1：(x－1)2＋y2＝2和圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝r2恰好有3条公切线，则圆C2的周长为C A．π

B.2π

D．4π

12. 522k＋524－≥23，

1＋k2C．22π

解析

根据条件可知两圆外切，故r＋2＝3－12＋22＝22，

故r＝2，则圆C2的周长为22π. 答案

C 二、填空题(每题6分，共12分) 6．(2013·大连检测)已知圆C：(x－1)2＋y2＝1与直线l：x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析

圆心C到直线l的距离d＝所以|AB|＝2r2－d2＝2 答案

255

|1＋1|25＝5，

54251－5＝5. 7．(2012·耒阳模拟)已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A、→＋OB→|≥|AB→|，那么实数m的取值范围是________．

B，O是坐标原点，|OA→＋OB→|≥|AB→|即圆心到直线的距离大于或等于圆半径的2解析

据题意：|OA2而小于半径．

2|m|即有2×2≤＜2⇒2≤|m|＜2，∴m∈(－2，－2]∪[2，2)．

2答案

(－2，－2]∪[2，2) 三、解答题(共38分) 8．(12分)求过点P(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1,2)的圆的方程．

解析

设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，

则A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，

因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1,3)，

n－22－3m＝，－11＋1则m－12＋n－22＝m－42＋n＋12＝r.

解得m＝3，n＝1，r＝5，

所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.

9．(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

解析

(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，

与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．

故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，

解得t＝1.

则圆C的半径为32＋t－12＝3. 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x－y＋a＝0，其坐标满足方程组

22x－3＋y－1＝9.消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0. a2－2a＋1因此x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①

2由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，

所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②

由①②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1. 210．(14分)已知以点Ct，t(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．

解析

(1)证明

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，

42由于圆心Ct，t，∴D＝－2t，E＝－t，

令y＝0得x＝0或x＝－D＝2t，∴A(2t,0)，

44令x＝0得y＝0或y＝－E＝t，∴B0，t，

114t＝4(定值)．

∴S△OAB＝2|OA|·|OB|＝2·|2t|·

(2)∵|OM|＝|ON|，∴O在MN的垂直平分线上，

2t11而MN的垂直平分线过圆心C，∴kOC＝2，∴t＝2，解得t＝2或t＝－2，

而当t＝－2时，直线与圆C不相交，∴t＝2，

∴D＝－4，E＝－2，

∴圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0. [课堂练通考点]

1. (2013·青岛一模)圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝A．直线过圆心

C．相切

3x的位置关系是(

) 3B．相交

D．相离

解析：选B

∵圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径r＝1，

∴圆心到直线y＝3|3|1x的距离为＝＜1＝r，故选

B. 33＋922. (2013·西安质检)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(

) 1A.

2C.2

2B．1 D.2 |c||c|2＝＝，因2|c|2a2＋b2解析：选D

因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝1－此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于222＝，所以弦长为2. 223. (2014·吉林模拟)已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA＋OB|≥A.(3，＋∞)

C．[2，22)

解析：选C

当|OA＋OB|＝3|AB|，那么k的取值范围是(

) 3B．[2，＋∞) D．[3，22) 3|AB

|时，O，A，B三点为等腰三3角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k＞0)的距离为1，此时k＝2；当k＞2时|OA＋OB|＞3|AB|，3又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k＜22，综上，k的取值范围为[2，22)，故选C.

4. (2014·陕西模拟)已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个．

解析：由题意知圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝42，

∴圆心到直线l的距离d＝有2个．

答案：2 5．求过点P(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1,2)的圆的方程．

解：

设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，

则A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，

因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1,3)，则

n－22－3＝，m－11＋1|－6－12－5|23＝＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P55m－12＋n－22＝m－42＋n＋12＝r，

解得m＝3，n＝1，r＝5，

所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5. [课下提升考能]

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1. 圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(

) A．相离

C．相交

B．相切

D．以上都有可能

解析：选C

∵圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，

∴圆心为(1，－2)，半径r＝3. 又圆心在直线2tx－y－2－2t＝0上，

∴圆与直线相交．

2. 圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(

) A．相离

C．外切

B．相交

D．内切

解析：选B

圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1<|O1O2|

3. (2013·安徽高考)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(

) A．1

C．4

B．2 D. 46

|1＋4－5＋5|解析：选C

依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝5，圆心到直线的距离d＝5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为

r2－d2＝2，故弦长为4. 4．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(

) A．23

C．25

B．4 D．5 解析：选B

由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2r2－d2＝29－5＝4. 5．(2013·福建模拟) 已知直线l：y＝－3(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________．

解析：依题意，直线l：y＝－3(x－1)与y轴的交点A的坐标为(0，3)．

由{x2＋y2＝1，y＝－3x－1

得，

1点M的横坐标xM＝，所以△MOA的面积为

21113S＝|OA|×xM＝×3×＝. 2224答案：3

46．以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________．

解析：法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.由4x＋3y－2＝0，2解得两交点坐标A(－1,2)，B(5，－6)．∵所求圆以AB为直径，2x＋y－12x－2y－13＝0.

1∴所求圆的圆心是AB的中点M(2，－2)，圆的半径为r＝|AB|＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋2(y＋2)2＝25. 法二：易求得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.设所求圆x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x212λ－1216λ－2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)，则圆心为－，－.∵圆心在公共弦所在直线21＋λ21＋λ12λ－1216λ－21上，∴4×－＋3－－2＝0，解得λ＝.故所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－17221＋λ21＋λ＝0. 答案：x2＋y2－4x＋4y－17＝0 7. 已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．

解：设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，

1＋n－2＋m2＝2＋1，则由n－11＝－1m＋2·

m＝0，⇒

n＝－1.

|－4－11|故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3，

9＋16|AB|2所以圆C的半径的平方r＝d＋＝18. 422故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18. 8. 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．

解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3. 由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．

当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，

即kx－y＋1－3k＝0. |k－2＋1－3k|由题意知＝2，

k2＋13解得k＝. 43故方程为y－1＝(x－3)，

4即3x－4y－5＝0. 故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. |a－2＋4|4(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝. 3a2＋1第Ⅱ卷：提能增分卷

1．(2013·枣庄月考)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．

解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l与圆C相切．

则有|4＋2a|3＝2.解得a＝－. 24a＋1(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

，a＋1得|CD|＋|DA|＝|AC|＝2，1|DA|＝2|AB|＝2.|CD|＝22222|4＋2a|

解得a＝－7或a＝－1. 故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 2．(2013·湛江六校联考)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OA⊥O B.设直线l的方程是y＝x＋b，y1y2其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则·＝－1，

x1x2即x1x2＋y1y2＝0.①

y＝x＋b，由22

x＋y－2x＋4y－4＝0.

消去y得，2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，

1∴x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝(b2＋4b－4)，②

2y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2

11＝(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝(b2＋2b－4)．③

22把②③式代入①得，得b2＋3b－4＝0，

解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0成立．故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4. 3．(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，

由题意，得|3k＋1|3＝1，解得k＝0或－，

4k2＋1故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 设点M(x，y)，因为MA＝2MO，

所以x2＋y－32＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a2＋2a－32≤3. 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；

由5a2－12a≤0，得0≤a≤12. 512所以点C的横坐标a的取值范围为0，. 5