复习参考题优秀教案案例

第54讲

直线的方程

ππ1．若xsin＋ycos－1＝0的倾斜角α是(C) 77π3πA.

B.

776π5πC.

D.

714

ππ6π

因为k＝tan α＝－tan＝tan(π－)＝tan，

7776π所以α＝. 72．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(C) ππππA．[，)

B．[，) 4332ππππC．(，)

D．(，) 4232

如图，直线l：y＝kx－3过定点P(0，－3)，又直线2x＋3y－6＝0与x轴交于点πA(3,0)，故kPA＝1，所以直线PA的倾斜角为. 4

ππ由图形可知，满足条件的直线l的倾斜角的取值范围为(，)．

423．点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包括边y－2界)，则的取值范围是(D) x－111A．[，1]

B．(，1) 2211C．[，1]

D．(，1) 44

y－2的几何意义表示△ABC内的点P(x，y)到点D(1,2)连线的斜率，

x－1

1可求得kBD＝1，kDA＝，数形结合可得：

41y－2kDA

B．2x－3y－5＝0 C．2x＋3y＋1＝0

D．3x＋2y－1＝0

设点P(a,1)，由于PQ的中点为(1，－1)，则点Q的坐标为(2－a，－3)，代入直2线x－y－7＝0，求得a＝－2.故点P(－2,1)，Q(4，－3)，所以kPQ＝－，

3由点斜式得直线l的方程为2x＋3y＋1＝0. 1115．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于

. ab2

－2b－24

(方法一)依题意＝，所以a－2＝，

a－2－2b－22b11b－21b－2＋21所以a＝.所以＋＝＋＝＝. ab2bb2b2b－2xy(方法二)过B，C的直线方程为＋＝1，

ab22111又直线过点A(2,2)，所以＋＝1，所以＋＝. abab26．倾斜角等于直线x－2y－3＝0倾斜角的2倍，且经过P(2,1)的直线方程为

4x－3y－5＝0

.

1

设直线x－2y－3＝0倾斜角为θ，则tan θ＝，

22tan θ42＝，

1－tanθ3设所求直线的倾斜角为α，

则tan α＝tan 2θ＝4所以过点P(2,1)的直线方程为y－1＝(x－2)，

3即4x－3y－5＝0. 7．(2018·泰兴市校级期中)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线MN的方程．

5＋x0y0－27＋x0y0＋3

(1)设C(x0，y0)，则AC中点M(，)，BC中点N(，)．

22225＋x0因为M在y轴上，所以＝0，所以x0＝－5，

2y0＋3因为N在x轴上，所以＝0，所以y0＝－3. 2即顶点C的坐标为(－5，－3)．

5(2)因为M(0，－)，N(1,0)，

2xy所以直线MN的方程为＋＝1，

15－2即5x－2y－5＝0.

8．(2018·吉林九校联考)经过点P(1,4)的直线l在两坐标轴上的截距都是正数，且截距之和最小，则直线l的方程为(B) A．x＋2y－6＝0

B．2x＋y－6＝0 C．x－2y＋7＝0

D．x－2y－7＝0

xy

设所求直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)．

ab14因为直线过点P(1,4)，所以＋＝1. ab14b4a所以a＋b＝(a＋b)·(＋)＝1＋4＋＋≥5＋2ababb4a·＝9. abb4a当且仅当＝，即b＝2a时，取得等号，此时截距之和最小，

abb＝2a，a＝3，由14解得

b＝6.＋＝1，ab

xy故所求的直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0. 369．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为

2x＋3y＋1＝0

.

2a1＋3b1＋1＝0，

(方法一)P(2,3)在已知直线上，得

2a2＋3b2＋1＝0，

b1－b22解得2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，即＝－，

3a1－a22所以所求直线为y－b1＝－(x－a1)，

3即2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0. 2a1＋3b1＋1＝0，(方法二)由

2a2＋3b2＋1＝0，

知Q1，Q2在直线2x＋3y＋1＝0，

而Q1，Q2两点确定一条直线，

故所求直线方程为2x＋3y＋1＝0. 10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，所以2－a＝0即a＝2时，直线方程为3x＋y＝0. 当a≠2时，a＋1显然不为0. 因为直线在两坐标轴上的截距存在且相等，

a－2所以＝a－2即a＋1＝1，所以a＝0，

a＋1直线方程为x＋y＋2＝0. 故所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，

欲使l不经过第二象限，当且仅当：

－a＋1＞0，－a＋1＝0，或解得a≤－1，

a－2≤0，a－2≤0，

故所求a的取值范围为(－∞，－1]．