1.2.1 充分条件与必要条件公开课教案

1.2 充分条件与必要条件

1.2.1 充分条件与必要条件

教学目标分析：

知识目标：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．

情感目标：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

重难点分析：

重点：充分条件、必要条件的概念．

难点：判断命题的充分条件、必要条件． 互动探究：

一、课堂探究：

1、复习回顾：

（1）命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

（2）四种命题及相互关系：

练习：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

2222（1）若xy,则xy； （2）若xy,则xy；

（3）若x1,则x21； （4）若x1,则x1；

22（5）若xab，则x2ab； （6）若ab0，则a0

2

2、推断符号“”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“pq”; 如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“pq”. 用推断符号“和”写出下列命题：⑴若ab，则acbc；⑵若ab，则acbc；

3、充分条件与必要条件：

一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“pq”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

4、从不同角度理解充分条件、必要条件的意义：

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合AB是指

xAxB。这就是说，“xA”是“xB”的充分条件，“xB”是“

xA”的必要条件。对于真命题“若p则q”，即pq，若把p看做集合A，把q看做集合B，“pq”相当于“AB”。

（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。

对充分条件的理解：

命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以互相转化。当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。

物理模型的直观解释：如图1-2-1 电路图，当开关A闭合时，灯泡B亮，而当灯泡B亮时，开关A却不一定是闭合的；即要使灯泡B亮，只要开关A闭合着一个条件就够了，我们就称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分条件。

一般地，“若p，则q”是一个真命题，是指由p通过推理可以得出q，即由p可推出q，记作pq，那么，就称条件p是结论q的充分条件（sufficient condition）。

“若q，则p”是一个真命题，是指由q通过推理可以得出p，即由q可推出p，记作qp，那么，就称q是p的充分条件（sufficient condition）。

例如：①x1x1，那么，“x1”是“x1”成立的充分条件；②a2a4，2那么，“a2”是“a4”成立的充分条件；③三边对应相等的两个三角形全等：“三边对应222相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“m1”是函数y(m3m3)x22m为幂函数的充分条件；

说明：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。例222如，当x4时，x16成立，但是，当x4时，x16也可以成立，即x4时，x16也

22成立，所以，x4是x16成立的充分条件，x4也是x16成立的充分条件。

A A C B B ×

×

C

图1-2 图1-1

对必要条件的理解：

如图1-2 电路图，当开关A闭合时，灯泡B不一定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B一定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A一定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关A必须是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件。

一般地，“若p，则q”是一个真命题，是指由p通过推理可以得出q，即由p可推出q，记作“pq”那么，结论q是条件p的必要条件（necessary condition）。

“若q，则p”是一个真命题，是指由q通过推理可以得出p，即由q可推出p，记作“qp”，那么，就称p是q的必要条件（necessary condition）。

2例如、已知命题“若p：m1，则q：xxm0无实数根”，试判断p是q的什么条件？q是p的什么条件？

解：

p是q的充分条件，不是必要条件，q是p的必要条件，不是充分条件。

12，所以当m1时，方程xxm0无41实数根，p是q的充分条件，q是p的必要条件，又因为由m不能推出m1，所以由q不4能推出p，q不是p的充分条件，p不是q的必要条件。

12方法（二）命题“p：m1，q：xxm0无实数根”等价于“p：m1，q：m”，411因为(,1)Ø(,)，所以命题“若p：m1，则q：m”为真命题，命题“若q：441m，则p：m1”是假命题，由命题的真假来判断充分条件和必要条件。

4方法（一）方程xxm0无实数根，所以m2说明：由必要条件的定义可以看出，必要条件与充分条件是一个真命题的两种说法：①真命题的条件是充分条件，②真命题的结论是条件的必要条件，即如果此结论不成立，那么条件也就不成立。

假命题的条件不是命题结论成立的充分条件，但是有可能是必要条件，例如，命题：“若p：x23，则q：x3”是假命题，p不是q的充分条件；由qp，所以p是q的必要条件。

（3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系：

⑴若ab，则acbc；

⑵若x0，则x0；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

2

注意：

（1）p是q的充分条件反映了pq，而q是p的必要条件也反映了pq，所以p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同. p是q的充分条件只反映了pq，与q能否推出p没有任何关系；

（2）注意以下等价形式：①pq；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q；

（3）判断充分条件或必要条件的实质是判断命题“若p，则q”或其逆否命题的真假. 例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x4x30；

（2）若f(x)x，则f(x)在(,)上为增函数；

（3）若x为无理数，则x为无理数.

变式：下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若xy，则x2y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；

（3）若ab，则acbc

例2、平面//平面的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线a,a//,a// B.存在一条直线a,a,a//

C.存在两条平行直线a,b,a,b,a//,b// D.存在两条异面直线a,b,a,b,a//,b//

变式：已知p：两个三角形相似；q：两个三角形全等，p是q的 条件. 例3、已知p:221<1,q:x2+(a-1)x-a>0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范x-1围.

答案：(-2,-1].

注意：下列两种说法表达的含义是否相同？

（1）甲的充分不必要条件是乙；

（2）甲是乙的充分不必要条件. 二、课堂练习： 教材第10页练习第1、2、3、4题

1、用符号“”与“”填空：

（1）

x2y2 xy；

（2）

内错角相等 两直线平行；

（3）

整数a能被6整除 a的个位数字为偶数；

（4）

acbc ab. 2、下列“若P，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

（2）若x5，则x10

3、下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若a5是无理数，则a是无理数；

（2）若(xa)(xb)0，则xa.

4、判断下列命题的真假. （1）x2是x4x40的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；

（3）sinsin是的充分条件；

（4）ab0是a0的充分条件.

2

反思总结： 1、

本节课你学到了哪些知识点？

2、

本节课你学到了哪些思想方法？

3、

本节课有哪些注意事项？

课外作业： （一）教材第12页习题1.2 A组第2、3题

1、判断下列命题的真假：

22（1）“ab”是“ab”的充分条件；

（2）“|a|||b”是“ab”的必要条件.

2、下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：x1，q：x1x1；

（2）p：|x2|3，q：1x5；

（3）p：x2，q：x33x；

（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.

（二）补充

3、已知x,yR，下列各式中哪个是“xy0”的必要条件？（ ）. 2233A.xy0 B.xy0 C.xy0 D.xy0

224、已知p:x20,q:(x2)(x3)0，p是q的 条件. 5、（1）是否存在实数m，使得2xm0是x2x30的充分条件？

（2）是否存在实数m，使得2xm0是x2x30的必要条件？

解：（1）欲使得2xm0是x2x30的充分条件，则只要{x|x222m}{x|x1或2x3}，则只要条件．

m1即m2，故存在实数m2时，使2xm0是x22x30的充分2

（2）欲使2xm0是x2x30的必要条件，则只要{x|x22m}{x|x1或x3}，2则这是不可能的，故不存在实数m时，使2xm0是x2x30的必要条件．

6、已知p:x28x200,q:x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.

答案：0a3. 课后反思：