信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优质课教学设计

用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆

汕头市实验学校 林琼端

教学内容分析

“用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆”，就是人教版教材高中数学选修1-1第二章“信息技术应用”课题，是新课标颁布实施以后的新编版本，增设了新的“信息技术应用”材料和内容，是学生在学习了“椭圆及其标准方程”、“椭圆的简单几何性质”这两节课知识后，基于对曲线与方程有了较好的理解和掌握的前提下，安排的一节“信息技术应用”课程。时代在进步，科技在提高，学生的学习方式也顺应着教学改革不断完善，向着多样化、自主性、探究式的方向转变。课本设置这样的一节课，不仅是要增强学生掌握现代信息技术的意识，激发学生热衷于对计算机软件的尝试和知识探究的潜能，也是在强化对新课程理念的导向，更是对我们教师自身学习与探究能力的挑战、检验与鞭策。

教学目标

1．知识定位：借助《几何画板》来探究有关椭圆的轨迹问题，从新的视角审视轨迹问题的本质；探究认识椭圆的几何性质．

2．能力定位：让学生应用《几何画板》的一些基本功能，提升学生信息技术的实践能力，加强新时代背景下学生信息技术的基本功；培养学生利用计算机软件来探究、展示或拓展数学知识，开阔视野，激发创新潜能．

3．情感导向：简单的操练平台，简单的操作软件，让学生亲自经历探究、克服困难、合作解决问题的过程，体验收获的愉悦.把知识教给学生，更是把能力传授给学生；师生共同提高，提升“数学”品味． 学情分析

学生已经学习了椭圆及其标准方程，椭圆简单的几何性质等基础知识，掌握了求解曲线方程的基本方法；高二的学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，思维活跃、求知欲强，有一定的探究问题能力，和合作交流的能力。

教学策略

本节课采用自主探究法教学，结合学生的认知情况，设计了三个认知层次：一、复习定义，实例引入；二、合作交流，探究新知；三、变式探究，得出结论；四、归纳总结，升华提高。认知层次层层深入，探究环节环环相扣，带动学生积极参与，加深对数学概念的深层理解，拓宽数学能力的培养途径。通过教师和学生操作《几何画板》，开展数学实践探究，

引导学生进行观察、猜测、验证、交流、概括、证明，去研究数学现象与规律，以提高学生学数学的兴趣、增强理解能力、探究能力。教学中及时发现、肯定学生的闪光点，给予鼓励；同时，结合学生暴露出的思想或方法上的问题，适时点拨。

教学重难点

重点：操作、观察满足条件动点的轨迹并求解轨迹方程

难点：使用几何画板作度量和计算已知条件，变换条件观察动点轨迹

教法与学法

教法：演示法、指导法．

学法：实践法、探究法（“动手”学习，亲历体验）．

教学过程

复习定义，温故知新

一、复习定义，温故知新

同学们已经学习过椭圆及其方程，让同学们回顾椭圆的定义：

在平面内，与两定点的距离之和为常数的动点的轨迹。

时间：3分钟

【设计意图】

小结反思

数形转化，求解验证

变式探究，得出结论

实例引入，探究学习

回顾学过的知识，先不提出动点与两定点距离之和为常数，这个常数应该满足的条件，为下面的探究埋下伏笔。

二、实例引入，探究学习

探究一：

对于点的轨迹，可以在《几何画板》中进行演示，老师用《几何画板》演示动点的轨迹，度量两点之间的距离，线段的长度，以及数据的加减乘除的计算方法，示范追综点的轨迹，擦除轨迹的操作，由刚才回顾椭圆的定义引出探究一：

在平面内，到两个定点

的距离的和等于常数的点的轨迹. 1、

当

时，动点的轨迹是

2、

当

时，动点的轨迹是

3、当

时，动点的轨迹是

结论：

当

时，动点M的轨迹是

学生自主探究，得出结论，填写上面表格，请小组代表操作演示探究过程以及得到的结论：在平面内，与两定点

的距离之和为常数（大于｜

｜）的动点的轨迹，当

时，动点M的轨迹是椭圆.

图形

y

x

方程

长轴长

短轴长

焦距

离心率

点拨基本元素的操练：

①度量两点之间的距离、线段的长度．

②计算线段长度之和．

③追踪点的轨迹．

④擦除点的轨迹

⑤观察数据的变化以及动点轨迹的变化

老师总结学生发言，并从探究结果得出刚才提出的椭圆定义有不够严密，请同学们根据探究结果进行修正椭圆的定义概念：在平面内，与两定点

的距离之和为常数（大于｜

｜）的动点的轨迹是椭圆.让同学们对定义有更深的理解。

时间：10分钟

【设计意图】

利用几何画板演示椭圆轨迹的形成过程，让学生观察两个定点之间的距离，动点到两个定点的距离之和。一方面强化“动点到两定点的距离和为定值”这一认识，另一方面让学生自己动手实践，纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，给学生提供探究的方向和点拨，让学生通过自己的探究得到结论。

探究二：

由探究一和已掌握的知识体系中可得椭圆的离心率在0

内容：椭圆离心率与椭圆形状的关系

离心率e 形状

e越小（越接近0）

e越大（越接近1）

让同学自主控究完成探究二的内容，并且完成上述表格。让学生代表汇报演示探究结果，得出结论：椭圆离心率e越大，椭圆的形状变扁；椭圆离心率e越小，椭圆的形状圆.

点拨基本元素的操练：

①拖动点

或

可改变

之间的距离

②扡动点可改变

的和

③追综点的轨迹

④观察数据的变化以及动点轨迹的变化

老师总结发言，可从两个方面改变离心率的大小，一是

改变，

不变时，

增大，离心率e变大，观测出椭圆的形状变扁，

减小，离心率e变小，观测出椭圆的形状变圆；二是

不变，改变

，

增大，离心率e变小，观测出椭圆的形状变圆，

减小，离心率e变大，观测出椭圆的形状变扁。

时间：8分钟

【设计意图】

通过实例，让学生拖动点，演示出轨迹的图象，再与所学知识去相互验证，数形结合，使得数学经验得以提升。锻炼学生的表达能力，培养学生的综合素质，通过学生的展示，整个教学过程中，充分体现了学生的主体地位，教师只是教学的组织者和引导者。

三、变式探究，得出结论

探究三：

改变问题条件：F是定点，l是不经过F的定直线，动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是小于1的常数e，动点M的轨迹. 1、

在0

2、改变点F与直线l相对位置，动点M的轨迹

同学自主控究完成探究三的内容，学生代表汇报演示探究结果，得出结论：F是定点，l是不经过F的定直线，动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是小于1的常数e，动点M的轨迹是椭圆.

点拨基本元素的操练：

①拖动点F，改变定点F与定直线l相对位置，观察MF、MH、MF/MH三者的大小变化

②在0

时间：8分钟

【设计意图】

通过例题，先让学生拖动点，利用已有经验去猜测轨迹的图象，再用所学知识去验证，使得数学经验得以提升。使学生感受椭圆的第二定义，教学时要注意控制难度，不对学生提出第二定义的概念。

四、数形转化，求解验证

借助直角坐标系，我们可以把上述问题叙述为：

如图：若点

（

，

）与定点

（

，

）的距离和它到定直线

常数

，则点的轨迹是一个椭圆。

的距离的比是

请推导出上述椭圆的方程，并指出长轴长、短轴长、离心率分别是多少？

解：依题意可得：

y M F H x

两边平方，得

上述椭圆的方程，并指出长轴长、短轴长、离心率分别是多少

化简，得：

两边同时除以

，得

设

=1，得

上述椭圆的长轴长：2a，短轴长：2b，离心率是

时间：7分钟

【设计意图】

规范学生的数学语言，加深对定义的理解学生通过所学知识，经过代数运算，得出满足如图：若点

（

，

）与定点

（

，

）的距离和它到定直线

的距离的比是常数

，的点轨迹的方程。求解出椭圆的方程。

通过求解出的椭圆标准方程与探究三内容相互验证。

五、小结反思

老师小结本节课学习的知识

请学生谈谈本节课的收获

行为和思考上积极、主动的参与，激发学生的学习兴趣

鼓励学生课外继续探索验证，培养学生的探索精神。

时间：4分钟

【设计意图】

我特别注意在学生思维最近发展区提出问题，使学生面对适度的学习困难，调动学生积极参与，加深对数学概念的深层理解，拓宽数学能力的培养途径。引导学生进行观察、猜测、验证、交流、概括、证明，去研究数学现象与规律，以提高学生学数学的兴趣、增强理解能力、探究能力等。