习题2.3第二课时教学实录

直线与平面垂直

教学设计

河北保定涿州第二中学

刘敬彩

一、内容和内容解析

直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。定义中的“任意一条直线”就是“所有直线”。定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，

即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性。

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“

直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”。

教

学

重

点：理解直线与平面垂直的判定定理

二、目标和目标解析

目标：1.理解直线与平面垂直的判定定理

2.会用直线与平面垂直的判定定理分析解决问题

3.培养学生空间想象能力与转化化归的数学思想

目标解析：

1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。

2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。

3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。

4、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面。

三、教学问题诊断分析

学生已经学***面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。

在直线与平面垂直的判定定理中，学生对为什么要且只要两条相交直线的理解有一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍。同时，由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进

一步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，不知如何选择已知平面内的两条相交直线证直线与平面线垂直，或选择与直线垂直的平面证明直线与直线垂直，导致证明过程中无从着手或发生错误。

教学难点：会用直线与平面垂直的判定定理分析解决问题

四、教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，条件许可准备多媒体课件，三角板。

学生自备学具：三角形纸片、三角板、笔（表直线）、课本（表平面）。

五、教学过程设计

（一）、观察归纳直线与平面垂直的定义

1、直观感知

问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备。

师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。

2、因为是直线与平面垂直的判定的第二节课，所以用图片引入直线与平面垂直的定义和判定定理，过程中点出易错位置和重点注意，加深印象以方便应用！

我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系,

直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平面内直线的关系。

师生活动：学生思考作答, 教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的关系，得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直。

设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。

师生活动：学生回答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法与画法。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作：

l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图3。

3、辨析讨论

辨析1：下列命题是否正确，为什么？

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。

设计意图：通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。由（1）使学生

明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思。由（2）使学生明确，直线与平面垂直的定义既是判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化。

4 由命题（2）给出下列常用命题：

指出它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于另一条直线所在的平面。

（二）、探究发现直线与平面垂直的判定定理

师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实作简要说明。然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理。指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

用符号语言表示为：

3、质疑深化

辨析2：下列命题是否正确，为什么？

如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面。

设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。

师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件。

（三）、初步应用

例1、如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，

且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD.

设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系。

师生活动：教师引导学生分析思路，可用判定定理证，提示辅助线的添法。

学生在练习本上完成，对照课本例题,完善自己的解题步骤。

举一反三：如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,

求证：VB⊥AC 设计意图：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用。

转化思想：线线垂直

线面垂直

线线垂直

师生活动：学生思考讨论，请一位同学用多媒体课件展示并分析其思路，教师参与讨论。

例2:已知矩形ABCD,过A作PA面ABCD,再过A作AEPB于E,过E作EFPC于F(1)求证:BC面PAB

(2)求证:AE面PBC(3)求证:AFPC设计意图：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用。

转化思想：线线垂直

线面垂直

师生活动：先用逆推的思想引导学生思考讨论，本题设计较好，一步一步导入，充分运用线线垂直与线面垂直的相互转化。请三位同学说思路，教师用多媒体课件展示并分析其思路，师生共同讨论。

大显身手：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.

设计意图：利用例2的逆推思路，解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用。

转化思想：线线垂直

线面垂直

师生活动：通过例2的讲解和讨论，学生基本有个逆推思路，让学生们思考讨论，教师参与讨论。请同学板书，教师指导！

（四）、总结反思

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？

（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？

设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题进行质疑和概括。

师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的三种方法：利用定义，利用判定定理，利用例2的结论。这些方法体现了转化的数学思想。同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。

六、

4、设计一个检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直的方案，写出实施步骤和依据。

设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，感悟其中蕴涵的转化数学思想，增强学生的应用意识。其中第1题主要运用直线与平面垂直的判定定理，第2、3题是活用直线与平面垂直的定义与判定定理，第4题前后呼应，为解决课中给出的问题提供各种方案，是本课所学知

识的实际应用。

附：板书设计

直线与平面垂直的判定

一

定义

多

媒

体

课

件

二

判定定理

线面垂直线线垂直三

典型例题

例1

举一反三

例2

大显身手

四

课堂小结

五

课后作业

线线垂直

线面垂直