信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆教案2

4.1.1圆的标准方程

教学设计

教材分析

.解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在初中曾经学习过圆的有关知识.本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。

同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。

教学目标与核心素养

1.

掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的教学目标

标准方程写出圆的圆心、半径．

2.

会用待定系数法求圆的标准方程．[来源:学科网ZXXK]

核心素养

a.数学抽象：通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力；

b.逻辑推理：圆的标准方程推导过程; c.数学运算：求圆的标准方程；

d.直观想象：利用待定系数法求圆的标准方程；

e.数学建模：三角形的外心：中垂线的交点。.把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美. .

教学重难点

重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确；

难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程. 教学过程

一、情境引入

课前准备：请两位同学到黑板上画一个圆。一位只有粉笔；另一位给根绳子。

课堂估计：徒手画圆是非尺规作图，效果比理想中差很多；借助绳子比徒手要好很多，但是也有不完美的地方(指出数学作图的严谨性)。然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应[来

着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程.

X。K]那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程. 二、研探新知

复习回顾：两点间距离公式

提出问题

①

什么是圆？

从用几何画板作图，复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.

[来②

在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角。那么，决定圆的条件是什么?

③

确定圆需要几个要素？

④

已知圆的圆心C(a,b)及圆的半径r,怎样求出圆的方程？

⑤圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

22讨论结果：①根据两点之间的距离公式(x1x2)(y1y2)，

②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆). ③圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r. ④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了. ⑤设圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r＞0).设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r}，由两点间的距离公22式让学生写出点M适合的条件(xa)(yb)=r.①

将上式两边平方得(x－a)2+(y－b)2=r2. 化简可得(x－a)2+(y－b)2=r2.②

若点M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程②，反之若点M的坐标满足方程②，这就说明点M与圆心C的距离为r，即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为

C(a，b)，半径长为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程. ⑥当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2. 提出问题

①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? ②确定圆的方程的方法和步骤是什么? ③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断? 讨论结果：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r且r＞0，这时圆的方程就被确定，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件. ②确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：[来源学科网ZXXK]

1°根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；

2°根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

3°解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. ③点M(x0，y0)与圆(x－a)2+(y－b)2=r2的关系的判断方法：

当点M(x0，y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上时，点M的坐标满足方程(x－a)2+(y－b)2=r2. 当点M(x0，y0)不在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上时，点M的坐标不满足方程(x－a)2+(y－b)2=r2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 1°点到圆心的距离大于半径，点在圆外(x0－a)2+(y0－b)2＞r2，点在圆外; 2°点到圆心的距离等于半径，点在圆上(x0－a)2+(y0－b)2=r2，点在圆上; 3°点到圆心的距离小于半径，点在圆内(x0－a)2+(y0－b)2＜r2，点在圆内. 三、典型例题

题型一：求圆的标准方程

练习1.

写出下列各圆的标准方程：

(1)圆心在原点，半径是3；

⑵以O（0,0），A(6,8)为直径的圆; (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，－3)；. 2.说出下列圆的圆心和半径:

(1)(x+1)+(y-1)=1；

(2) x+(y+4)=7；

2222

(3)(x+1)+(y+2)=m（m≠0）

点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程

题型二：点与圆的位置关系

例1

写出圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－5，－1)是否在这个圆上. 解:圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的标准方程是

(x－2)2+(y+3)2=25，

把点M1(5，－7)，M2(－5，，－1)分别代入方程(x－2)2+(y+3)2=25，

则M1的坐标满足方程，M1在圆上.M2的坐标不满足方程，M2不在圆上. 点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——

从代数到几何. 题型三：待定系数法求圆的方程

例2

△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程.

活动：教师引导学生从圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳、提炼方法. 解法一:设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2，因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，

它们的坐标都满足方程(x－a)2+(y－b)2=r2，于是[来源:Zxxk.Com]222

(5a)2(1b)2r2,222(7a)(3b)r(2a)2(8b)2r2.(1)(2)

(3)a2,解此方程组得b3,所以△ABC的外接圆的方程为(x－2)2+(y+3)2=25. r5.解法二:线段AB的中点坐标为(6，－1)，斜率为－2，所以线段AB的垂直平分线的方程为

y+1=1(x－6).

①

2同理线段AC的中点坐标为(3.5，－3.5)，斜率为3，所以线段AC的垂直平分线的方程为

y+3.5=3(x－3.5).

②

22解由①②组成的方程组得x=2，y=－3，所以圆心坐标为(2，－3)，半径r=(52)(13)=5，所以△ABC的外接圆的方程为(x－2)2+(y+3)2=25. 点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心，它是△ABC三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等，就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路. 四、课堂小结

1.圆的标准方程. 2.点与圆的位置关系的判断方法. 3.根据已知条件求圆的标准方程的方法.