1.1 一元二次方程优质课教学设计

九年级(上)数学教案

1.1 一元二次方程

南京外国语学校

张学萍

教学目标：

1.通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型．

2.通过观察，归纳一元二次方程的概念．

教学重点：由具体问题抽象出一元二次方程，掌握一元二次方程的概念．

教学难点：探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程．

教学过程：

一、复习引入

【问题1】同学们，今天我们开始学习第1章一元二次方程，回顾一下，我们已经学过哪些方程？

在初一初二我们学过了一元一次方程，二元一次方程（组），分式方程．

【问题2】在一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程这三个章节中，我们是如何研究这些方程的，都学习了哪些内容？

这三章中，都是先学习相关的概念，如方程的解的概念、等式的性质、分式的性质等，再探索解方程的方法，最后用方程模型解决实际问题．

【问题3】

怎样解二元一次方程（组）和分式方程，二者的解法有相似之处吗？

解二元一次方程（组）是通过加减法或代入法消去一个未知数，转化为解一元一次方程；分式方程是通过去分母，转化为解一元一次方程．

【问题4】根据以往的经验，在一元二次方程这一章中，我们会学习哪些内容？

本章我们依然是学习一元二次方程的概念、解法和应用，本节课先学习相关概念．

【设计意图】回顾以往学习方程的过程，了解一元二次方程这一章的学习内容，并从原有的学习经验得到启发，体会如何去学习新知识．如一元二次方程的解法是不是也是转化成解一元一次方程等，培养学生的学习能力．

二、探索活动

【问题1】请结合一元一次方程和二元一次方程的定义，从字面上看，你觉得什么样的方程是一元二次方程？

【问题2】用方程描述下列问题中的数量关系．

1.正方形桌面的面积是

2 m2，设正方形桌面的边长是

x m，可得方程_________________．

2.已知矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度为19m，如果花圃的面积是24 m2，设花圃的宽是

x m，可得方程_________________．

3. 一个直角三角形的的斜边长为

25cm，两条直角边长的和是6 cm ，求另两条直角边的长．设一条直角边为x cm，可得方程________________________ ．

4. 学校图书馆的藏书在两年内从5万册，增加到7.2万册，

设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，可得方程_____________________ ．

1

【问题3】下列方程有哪些共同的特征？

(3x)(19x2)

2(1)x22;

(2x)2(6x2)（1）只含有一个未知数，

（2）未知数的最高次数是2 （3）整式方程

【问题4】如果把方程x2写成x20的形式，请把其它三个方程也写成这个形式，并观察在形式上它们有什么共同特征？

22

)(4(1x2)(225;)5

8.9.(1)x220;

(2)2x219x240;

(3)x26x80;

(4)x22x0.960.

2共同特征：形如axbxc0(a0,a,b,c是常数)

小结：

一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式：

任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2bxc0(a0,a,b,c是常数)的形式，称为一元二次方程的一般形式．其中ax、

bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项．

a叫做二次项系数，

b

叫做一次项系数．

【设计意图】通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型．再通过观察，归纳一元二次方程的概念．

三、例题与练习: 【练习】判断下列方程是不是一元二次方程，并说明理由．

(1)3x2y10;(3)3xx220;(5)2x230;(7)2x23x0;(((()())))21;2x1(4)xy3;((2)()()())2(6)ax2bxc0;

(8)2x(x1)6x2x27;(9)3x3x(x3).反思：（1）一元二次方程应满足几个条件？

三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程．

（2）

对于整式方程要化简后再判断! 【设计意图】巩固一元二次方程的概念．

2

【例1】把方程5(x2)3x(x1)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数a、一次项系数b和常数项c 的值．

解：3x8x100

a3,b8,c10

【设计意图】巩固一元二次方程的一般形式，为后面解一元二次方程打基础．

【例2】若关于x的方程(a3)xa12则a 的值为________．

3x50

是一元二次方程，a30解：由题意得

a12a3

【设计意图】巩固一元二次方程的概念．

【例3】若m是关于x的一元二次方程x（1）求a 的值；

2a22x20

的一个实数根．

（2）不解方程，求代数式(mm)(m解：（1）由题意得a22

a2

221)

的值．

m

（2）将m代入方程得mm20

2m2m2

m2m20

m0

2m10

m2m1

m(m2m)(m21)2(11)4

m【设计意图】一元二次方程的概念、方程的解、求值的综合运用．

3

【练习】写在书上P7

答案：(1)x(x8)240(2)x29

答案：(1)x2x20【练习】写在书上P8 (2)x24x10(3)2x23x10(4)x23x20

4

答案：(1)6x2150(2)2xx7200(3)x(x2)323(4)14400(1x)216900

四、课堂小结

1．由上面的练习进一步感受一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 2．一元二次方程的定义

（1）只含有一个未知数

（2）未知数的最高次数是2 （3）整式方程

3．一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a0,a,b,c是常数)

在一元二次方程中，由a、b、c的不同取值常见的有几种情形? 其它形式

ax2c0(a0,a,c是常数)

ax2bx0(a0,a,b是常数)

ax20(a0,a是常数)

思考这些形式的方程，以及练习中出现的方程，哪个最容易解，哪些是你已经会解的？

【设计意图】为下节课学习一元二次方程的解法做铺垫．

五、布置作业

《学习与评价》1.1

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