12.1 二次根式名师教学实录

12.1 二次根式

1.学情分析

学生在之前的学习中，已经学习过代数式、整式、分式这些内容，明晰了“式”的系统的基本结构，知道了“式”系统中部分成员的共性与特性，掌握了研究“式”系统的基本方法，积累了研究“式”系统成员的基本经验。为今后再探究“式”这个大家庭中的其他“式”成员，再提供必备的思想方法和学习经验，再丰富一下研究“式”的学习范式。

2.教学目标

（1）了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件．

（2）通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算．

（3）通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．

3.教学重难点

重点：探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质. 难点：理解、掌握、运用二次根式性质（a

）2＝a（a≥0）．

4.教学设计

环节1 创设情景，引入新课

情景一

这是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分是正方形，外围是圆．

1

如果该正方形的面积为30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？

如果该圆的面积为S

m2，你知道该圆的半径是多少吗？

观察图片，回答问题．

学生一：正方形的边长是30

m；

学生二：圆的半径是Sπ

m；

学生三：钢索的长度是a2＋81

m．

情景二

这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9 m，垂直距离是a m．同学们知道这根钢索的长度吗？

【设计意图】给学生展现生活中常见的两张图片，让学生感受到数学知识的学习的源动力来自于生活，激发学生探求数学知识与生活中的实际问题联系的欲望，避免知识的机械呈现．

环节2 合作交流，新知探究

30

、S2

、a＋81

、…．

π这些式子有什么共同的特征呢？

你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？

积极思考，回答问题．

1．这些式子都含有根号…；

2．符合这些特征的式子有：16

、2

、a

、…．

【设计意图】从由学生熟悉的情景入手得到式子，结合平方根的概念，引导学生理解所给的一些式子的实际意义，从而自然给出二次根式的意义．

2

环节3 视频呈现，再次认识

（1）播放小视频《二次根式的再认识》

（2）课堂活动--找城堡

下列哪些式子是二次根式？为什么？

（3）课堂活动--喜洋洋运动会

判断是不是二次根式？

3

【设计意图】通过学生观看视频，再进行两个课堂活动，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，使学生充分理解二次根式的意义．

环节4 自主探究，小组交流

x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？

（1）x1；（2）x22；（3）x2；（4）132x．

（1）解：由二次根式的意义知：x＋1≥0，∴x≥－1，

∴当x≥－1时，

式子x1在实数范围内有意义．

（2）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有x2＋2≥0．

∴x取任何实数时，式子x22在实数范围内都有意义．

（3）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有－x2≤0，

又∵二次根式的被开方数大于等于零；

∴－x2≥0，∴x2＝0，即x＝0 ，

∴当x＝0时，

式子x2在实数范围内有意义．

． ∴3－2x＞0，∴x＜323－2x≥0（4）解：由题意知：3－2x≠0，

∴当x＜32时，132x在实数范围内有意义．

4

【设计意图】通过学生相互讨论什么时候有意义，侧重巩固对二次根式意义的理解，提高学生分析问题的能力，培养学生善于思考、精益求精的良好思维习惯，培养学生缜密、严谨的逻辑推理能力，强调书写格式．

环节5 数学实验，拼正方形

的意义是什么？你会计算（

）

吗？

揭下附录7中如图1的纸片（每个小正方形边长都为1），将它们剪开，分别重新拼成一个正方形，粘贴在下方空白处.拼成的正方形面积各是多少？从中你发现了什么？

画 剪 拼

【设计意图】通过数学实验，拼正方形，在拼的过程中，通过“画—剪—拼”

环节6 验证发现，得出性质

（4

）2、（9

）2、（

0.01）2、（5 30）2的结果是什么？

类比猜想：当a≥0时，（a）2的结果是什么？

【设计意图】通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳猜想二次根式的性质，再运用算术平方根的意义进行科学的说理验证．

课堂活动---找配对

【设计意图】通过找配对课堂活动的设置，让学生理解二次根式的性质，能运用其性质解决一些简单的综合性的问题，提高学生的计算、理解和综合运用能力．

环节7 限时练习，巩固新知

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环节8 精心策划，思维拓展

如图，长33米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角11米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．

33

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【设计意图】解决生活实际问题，进一步理解二次根式的意义与二次根式基本性质的运用．

课堂小测

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环节9 回顾反思，提炼升华

8

【设计意图】师生互动，锻炼学生严谨的口头表达能力，培养学生有条理地梳理知识点、有目的地整合知识点之间的能力．

设计思路

本节课选自苏教版初中数学八年级下册《12.1二次根式》的第一课时，通过聆听音乐会引入新课，带着学生探讨“什么是二次根式？”两个课堂活动，给小兵找城堡，参加喜洋洋运动会，充分调动学生的积极性，突出“在玩中学，学中玩”可见生活离不开数学，数学离不开生活，课堂离不开情景，情景离不开生活，生活中处处有数学。执教者在教学中利用希沃白板制作课件，使用相匹配的视频，制作三个课堂活动，课堂上利用希沃授课助手操作白板，班级优化大师对学生进行评价，充分激发学生学习的热情，调动积极性。再用数学实验来验证性质，为学生提供学习数学、体验数学的机会,将单调乏味的性质的探讨验证，演变成数学活动，可以动手操作，动手去裁剪拼出大正方形，使学生在操作时感到有趣，从而引导学生用实验的眼光看待数学世界。

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