24.1 圆教案3

24．1．3 《弧、弦、圆心角》教学设计

临泾初级中学 蒋宏林

教学目标

知识和能力

1、理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角. 2、掌握在同圆和等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算. 过程和方法

（1）通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展合情推理和演绎推理能力以及概括问题的能力；

（2）利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题．

教学重点

探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．

教学难点

从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的关系.

教学过程

一、

情境屋—请君入瓮

想一想：圆是轴对称图形吗？其对称轴是什么？

猜一猜：汽车能正常行驶得益于车轮；而车轮又是具有什么性质才具有如此奇妙的作用呢？

做一做：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°、90°、30°. 问题1：当⊙O绕圆心旋转180°,你有什么发现？

问题2：当⊙O绕圆心旋转90°或30°,你有什么发现？

问题3：在⊙O中任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个顶点在圆心上的角α，将这个圆绕圆心O旋转任意角度α，你会发现旋转之后的图形还能与原图形重合吗？ 中心对称性：圆绕圆心旋转180°后仍与原图形重合，是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度后都与原图形重合

，因此具有旋转不变性的特性. 教师总结：圆具有完美的对称性，圆是轴对称图形，有无数条对称轴，利用此性质我们得出了垂径定理；圆是中心对称图形，而且具有旋转不变性，这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常行驶，本节课我们将利用此性质研究圆的一个重要性质：弧、弦、圆心角之间的关系定理.

设计意图：通过操作，观察⊙O绕圆心旋转180°的特性，发现圆的中心对称性，通过操作，观察⊙O绕圆心旋转90°、30°、任意角度α，发现圆的旋转不变性，体会圆完美的对称性，进一步感受用运动、变化的观点分析问题，培养现实的归纳概括能力。

二、

探究圆—任你驰骋

想一想：什么叫圆心角呢？观察在⊙O中，∠α有什么共同特点？

引导学生得出概念：顶点在圆心的角叫圆心角. 练一练： 判别下列各图中的角是不是圆心角？

设计意图：学生通过找圆心角，为后面探究三者之间的关系作铺垫。

做一做：如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置.

问题1：在旋转过程中你能发现哪些等量关系？

问题2：由上面的现象你能猜想出什么结论？

问题3：你能证明这个结论吗？

在学生推导归纳出上面结论后又提出问题：

问题4：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A'O'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？

引导学生通过观察——猜想——证明——归纳得出圆心角、弧、弦之间的关系定理。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 几何语言：如图，在⊙O中，∵∠AOB=∠A＇OB＇∴弧 AB=弧A＇B＇,弦AB=弦A＇B＇

问题5：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？

问题6：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？试说说为什么？

推论1、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，

所对的弦相等；

几何语言：如图，在⊙O中，∵弧 AB=弧A＇B＇∴

∠AOB=∠A＇OB＇,弦AB=弦A＇B＇

问题7：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你又能得到什么结论？试说说为什么？

推论2、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 几何语言：如图，在⊙O中，∵弦AB=弦A＇B＇∴

∠AOB=∠A＇OB＇ ,弧 AB=弧A＇B＇

问题8：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中如果有一组量相等，则他们所对应的其余各组量有什么关系？

结论：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．（知一得二）

设计意图：让学生通过观察——猜想——证明——归纳得出新知，培养学生分析问题、解决问题的能力. 同时培养学生用符号语言表示结论，发展学生的逻辑推理能力.

三、

例练厅—展你风采

1、例题评析 例1、

如图, 在⊙O中，弧 AB= 弧AC，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.

分析：在⊙O中，要使圆心角相等，可通过证明圆心角所对的弦或弧相等解题. 分析：要证∠AOB=∠BOC=∠AOC，可证他们所对的弧相等，即弧AB=弧BC=弧AC或证他们所对的弦AB=BC=AC.

证明：

∴AB=AC(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等). 又∠ACB=60°，

∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). 即AB=BC=AC，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC(在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆心角相等). 分组讨论解决办法并展示解答过程

例2、已知AB是⊙O的直径，OD∥AC.那么弧CD 和弧 BD有什么关系？证明你的结论.

师生共析：弧CD 和弧 BD是⊙O的两条弧，要证他们相等，利用今天所学的定理，可证他们所对的圆心角相等或所对的弦相等.显然，通过连接OC，再证他们所对的圆心角∠DOB与∠DOC相等即可. 2、巩固练习

如图，AB、CD是⊙O的两条弦. （1）如果AB=CD，那么 ， . （2）如果弧AB=弧CD ，那么 ， . （3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， .

（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，

OE与OF相等吗？为什么？

第（4）小题分小组讨论交流，让学生自己寻找证明方法，并且选学生代表发言。

教师认真听取学生的不同解法或适时的对学生加以提示，并及时纠正错误，最后给出正确解答. 学生可能的解法：

解法一：要证明OE=OF，就需要证明OE和OF所在的Rt△AOE和Rt△COF全等；要证明Rt△AOE和Rt△COF全等，图中隐含条件是OA=OC，是这两个直角三角形的斜边，所以我们就考虑用HL来证明全等. 解法二：先证明△AOB和△COD全等，然后利用全等三角形对应边上的高相等来证明OE=OF; 解法三：在Rt△AOE和Rt△COF中，直接利用勾股定理计算OE、OF的长来证明OE=OF；

解法一：相等.理由：

∵OE⊥AB,OF⊥CD，

∴AE=BE=

AB，CF=DF=

CD.（垂径定理） 又AB=CD,∴AE=CF. 在Rt△AOE和Rt△COF中，

OA=OC, AE=CF, ∴Rt△AOE≌Rt△COF，（HL）

∴OE=OF.（全等三角形对应边相等）

解法二：相等.理由：

∵AB=CD OA=OC OB=OD ∴△AOB≌△COD（ ）

又∵OE⊥AB,OF⊥CD ∴OE=OF（ ）

解法三：相等.理由：

∵OE⊥AB,OF⊥CD，

∴AE=BE=

AB，CF=DF=

CD.（垂径定理） 又AB=CD,∴AE=CF. 在Rt△AOE和Rt△COF中，

OE2=OA2-AE2

OF2=OC2-CF2（勾股定理）

又∵OA=OC ∴OE=OF 总结延伸：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．

设计意图：引导学生从多角度分析问题，尝试用多种方法证明结论；通过例题和练习题，加深学生对弧、弦、圆心角之间关系的认识，帮助学生获得证明弧相等、线段相等、角相等的方法和经验.同时培养学生的逻辑推理能力及运用知识的能力. 四、

反思阁—悟中升华

通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本方法?如圆心角的概念，弧、弦、圆心角三者之间的关系等，试着与同伴交流. 设计意图：总结回顾，培养学生的知识整理能力与语言表达能力，帮助学生自我评价学习效果。

五、

作业坊—显你身手

1、必做题：教材第89页第3、4题. 2、选做题：教材第90页第13题.