几何类应用问题教学设计和教学实录

3.解一元一次不等式

第1课时

一元一次不等式的解法(1) 教学目标

【知识与技能】

1.掌握一元一次不等式的概念. 2.体会解不等式的步骤，体会数学学习中比较和转化的作用. 3.用数轴表示解集，启发学生对数形结合思想的进一步理解和掌握. 【过程与方法】

通过对一元一次方程的解法的复习和对不等式的性质的利用导入对解不等式的讨论. 【情感态度】

通过类比一元一次方程的解法，从而更好的掌握一元一次不等式的解法，树立辩证唯物主义思想. 【教学重点】

掌握一元一次不等式的解法. 【教学难点】

掌握一元一次不等式的解法. 教学过程

一、

情境导入，初步认识

1.不等式的三条基本性质是什么？

2.一个方程是一元一次方程的三个条件是什么？

3.解一元一次方程的一般步骤是什么？

4.如何来解一元一次不等式呢？

【教学说明】既能对以前所学内容复习，又能给本节课的教学打好基础. 二、思考探究，获取新知

观察下列不等式：

①x-7≥2 ②3x＜2x+1 1③

x≤5 ④-4x＞8 3它们有什么共同点？你能借鉴一元一次方程给它下个定义吗？

- 1 -

【归纳结论】只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.我们再来解一些一元一次不等式. 例：解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：

（1）2x-1<4x＋13；

（2）2（5x＋3）≤x-3（1-2x）. 解:（1）2x-1<4x＋13，

2x-4x<13＋1，

-2x<14，

x>-7. 它在数轴上的表示如图

（2）2（5x＋3）≤x-3（1-2x），

10x＋6≤x-3＋6x，

3x≤-9，

x≤-3. 它在数轴上的表示如图

通过上面2题的解题过程，并类比解一元一次方程的一般步骤，总结解一元一次不等式的步骤. 【归纳结论】解一元一次不等式的步骤：

1.去括号；

2.利用不等式的性质移项；

3.合并同类项；4.系数化为1. 【教学说明】解方程和不等式问题由简单到复杂，循序渐进.通过解一元一次方程与解一元一次不等式的类比让学生发现解一元一次方程与解一元一次不等式的区别和联系，实现解方程到解不等式的正迁移. - 2 -

三、运用新知，深化理解

1.若关于x的不等式（m+1）x＜1+m的解集是x＜1，则满足的条件是 . 2.解下列不等式. （1）3x+2＜2x-5 （2）3（y+2）-1≥8-2（y-1）

（3）2（2x+3）＜5（x+1）

（4）3［x-2(x-2)］＞x-3(x-2) 3.已知方程ax+12=0的解是x=3，求不等式（a+2）x＜-6的解集. 4.已知3x+4≤6+2（x-2），则|x+1|的最小值是多少？

5.关于x的一元一次方程2（x-m）=4+x的解是非负数，则m的取值范围是多少？

6.已知不等式x+8＞4x+m（m是常数）的解集是x＜3，求m. 【教学说明】使学生由点到面、进而掌握解一元一次不等式的方法，并能解决具体的数学问题. 【答案】

1.解：∵点M（1，2a-1）在第四象限内，∴2a-1＜0，解得：a<1 2. 1.解：（m+1）x＜1+m，

∵x＜1，∴m+1＞0，

∴m＞-1. 2.(1)解：移项得：3x-2x＜-5-2 合并同类项得：x＜-7 所以，不等式的解集为x＜-7. (2)解：去括号得：3y+6-1≥8-2y+2 移项得：3y+2y≥8+2+1-6 合并同类项得：5y≥5 系数化为1得：y≥1 所以，不等式的解集为y≥1. (3)解：去括号得：4x+6＜5x+5

- 3 -

移项得：4x-5x＜5-6 合并同类项得：-x＜-1 系数化为1得：x＞1 所以，不等式的解集为x＞1. (4)解：去括号得：3x-6x+12＞x-3x+6 移项得：3x-6x-x+3x＞6-12 合并同类项得：-x＞-6 系数化为1得：x＜6 所以，不等式的解集为x＜6. 3.解：由ax+12=0的解是x=3，

得a=-4. 将a=-4代入不等式（a+2）x＜-6，

得（-4+2）x＜-6，

所以x＞3. 4.解：3x+4≤6+2x-4，

3x-2x≤6-4-4，

解得x≤-2. ∴当x=-2时，|x+1|的最小值为1. 5.解：去括号得2x-2m=4+x，

移项得x=2m+4，

∵x≥0，

∴2m+4≥0，

∴m≥-2. 6.解：因为x+8＞4x+m，

11所以x-4x＞m-8，-3x＞m-8，x＜（m-8）.因为其解集为x＜3，所以-（m-8）=3.解得33m=-1. 四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. - 4 -

课后作业

1.布置作业:教材第61页“习题8.2”中第1、4 题. 2.完成练习册中本课时练习. 教学反思

在教学过程中，由于通过简单的类比解方程，学生很快掌握了解不等式的方法，而且对比起方程，不等式题目的形式较简单，计算量不大，所以能引起学生的兴趣.但是部分学生在作业中存在以下问题：由于没有结合不等式的性质，认真分析解方程与解不等式的区别：在两边同时乘以或者除以负数时，不等号忘记改变方向.

第2课时

一元一次不等式的解法(2) 教学目标

【知识与技能】

较熟练的解一元一次不等式，熟练掌握去分母，会求不等式的整数解. 【过程与方法】

运用类比的方法来探索解一元一次不等式的一般步骤，获得分析问题和解决问题的方法. 【情感态度】

在解一元一次不等式的数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 【教学重点】

归纳掌握含有分母的一元一次不等式的解题方法. 【教学难点】

掌握含有分母的一元一次不等式的解法. 教学教程

一、

情境导入，初步认识

1.解一元一次不等式的步骤？ 2.解下列不等式

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-4x≥-16 -3x-10≥2x 3(x+2)<4(x-1)+7 3.如果在含有分母的一元一次方程中如何去分母呢？

【教学说明】回顾解一元一次不等式的步骤，为去分母解一元一次不等式作铺垫. 二、思考探究，获取新知

例：解不等式

，并把解集表示在数轴上. 讨论：如何去不等式中的分母. 解：去分母得：2（2x-1）-（9x+2）≤6，

去括号得：4x-2-9x-2≤6，

移项得：4x-9x≤6+2+2，

合并同类项得：-5x≤10，

把x的系数化为1得：x≥-2.

【教学说明】系数化为1时，不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变. 经过对例题的分析，你能根据解一元一次方程的步骤，总结对含有分母的一元一次不等式的解答步骤吗？

【归纳结论】步骤有：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化1. 三、运用新知，深化理解

1.见教材第59页例4. 2.解不等式，并把解集在数轴上表示出来. - 6 -

6.若关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集是x< 1＞b的解集是多少？

310

，那么关于x的不等式（a-b）x7【教学说明】通过做题，掌握解一元一次不等式的一般步骤. 【答案】2.解：去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60，

整理，得-27x≥-54，

系数化为1，得x≤2. 解集在数轴上表示为：

去分母，得2（x+4）-3（3x-1）＞6 去括号

得2x+8-9x+3＞6

- 7 -

整理得 -7x+11＞6-7x＞-5 系数化为1 得x< 5 . 7解集在数轴上表示为：

3.解：2x-3≤5（x-3），

去括号，得2x-3≤5x-15，

移项，得3x≥12，

即x≥4；

去分母得y-1-2y-2＞6，

解得y＜-9；

所以x＞y.

5.解：解关于x的一元一次方程的解大于2，∴8+k＞2，解得k＞-6. 6.解：∵（2a-b）x+a-5b＞0的解集是，

xkxk+1=5得，x=8+k，∵关于x的一元一次方程+1=522- 8 -

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

3.完成练习册中本课时练习. 教学反思

在教学过程中，由于通过简单的类比解方程，学生很快掌握了解不等式的方法，但也应该强调：

①

解一元一次不等式的步骤中的去分母和未知数的系数化1这两步，若乘数或除数是负数，要改变不等号的方向；

②

一元一次不等式的解集中含有无限多个数；

③

在解题过程中，要避免解方程中易出现的错误在解不等式中重犯；

④

对于一元一次不等式的解法步骤，在解题时，要做到灵活运用.

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第3课时 列一元一次不等式解决实际问题

教学目标

【知识与技能】

会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题. 【过程与方法】

通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系. 【情感态度】

在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识

一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯. 【教学重点】

寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型. 【教学难点】

弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式. 教学过程

一、

情境导入，初步认识

在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛.育才中学有25名学生通过了预选赛，通过者至少答对了多少道题？有哪些可能的情形. 【教学说明】通过实际问题的导入，引出了学生的求知欲，提高了的学习兴趣.同时，问题的提出，让学生感受学习数学知识的重要性. 二、思考探究，获取新知

讨论：（1）试解决这个问题（不限定方法）.你是用什么方法解决的？有没有其他方法？与你的同伴讨论和交流一下. （2）如果利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？应该如何表述？

分析：如果用不等式，必须找出不等关系.根据题意可知，答对题的得分减去答错题的扣分大于或等于80分.所以这个问题的关键是表示出答对的题数和答错或不答的题数.

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解：设通过者答对了x道题，答错或不答的题有（20-x）道，根据题意可得，10x-5（20-x）≥80 解得：x ≥12 所以，通过者至少要答对12道题. 你能类比列一元一次方程解决实际问题的方法，总结出列不等式解决实际问题的步骤吗？

【归纳结论】用一元一次不等式解决实际问题的步骤：(1)审题，找出不等关系； (2)设未知数；(3)列出不等式；(4)求出不等式的解集； (5)找出符合题意的值； (6)作答. 【教学说明】向学生渗透类比的思想.同时锻炼了学生的归纳能力. 三、运用新知，深化理解

1.毛笔每枝2元，钢笔每支5元，现有的购买费用不足20元，则购买毛笔和钢笔允许的情况是 ( ) A.5枝毛笔，2枝钢笔

B.4枝毛笔，3枝钢笔 C.0枝毛笔，5枝钢笔

D.7枝毛笔，1枝钢笔

2.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于进价5％，则至多可打() A.6折

B.7折

C.8折

D.9折

3.某市的一种出租车起步价为7元，起步路程为3 km(即开始行驶路程在3 km以内都需付7元)，超过3 km，每增加1 km加价2.4元(不足1 km以1 km计价)，现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付车费14.2元，问从甲地到乙地的路程最多是多少? 4.某工人计划在15天内加工408个零件，最初三天中每天加工24个.问以后每天至少加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？

5.在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？ 6.某花农培育甲种花

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木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元. （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木售价为540元.若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农应该种甲、乙两种花木各多少株？

【教学说明】通过本题的练习，让学生进一步体会到数学知识在生活中的应用，树立学生学好数学的信念. 【答案】1.D 2.B 3.解：设从甲到乙地的路程为x km，则由题意，可得

7＋2.4（x-3)≤ 14.2, 解得 x≤6. 所以从甲到乙地的路程为乙地的路程最多是6 km. .4.分析：所谓“超额完成任务”，就是前后两个阶段完成的工作总量应大于408个.因为是超额完成. 不等关系：前三天的工作量+后12天的工作量＞408个. 解：设后面每天加工x个零件，则

24×3+（15—3）x＞408 12x＞336，x＞28，

那么每天加工的个数应大于28个，才能超额完成任务. 5.解：设命中x次，脱靶（10-x）次，则

5x-(10-x)≥35 6x≥45，

因为x为整数，所以x=8. 答：至少要中靶8次. 6.解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元.由题意得：

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（2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株.则有：

（760-400）a+（3a+10）×240≥21600 解得：a≥160 9由于a为整数，且取最小值

所以，a=18 3×18+10=64（株）

答：花农应该种甲、乙两种花木各18株

、64株. 四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

1.布置作业:教材第61页“习题8.2”中第6 、7 题. 2.完成练习册中本课时练习. 教学反思

本节课是在学习不等式的概念、性质及其解法和运用一元一次方程（或方程组）解决实际问题等知识的基础上，利用不等式解决实际问题.这既是对已学知识的运用和深化，又为今后在解决实际问题中提供另一种有效的解决途径.通过实际问题的探究，让学生学会列一元一次不等式，解决具有不等关系的实际问题.经历由实际问题转化为数学问题的过程，掌握利用一元一次不等式解决问题的基本过程.促进学生的数学思维意识，从而使学生乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用.同时向学生渗透由特殊到一般、类比、建模和分类考虑问题的思想方法.

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