实验与探究 三角点阵中前n行的点数计算教学实录与评析

21章数学活动——三角点阵中前n行的点数计算教学设计

教学目标

知识与技能：学生通过观察三角点阵，探究发现三角点阵中前 n 行的点数规律，并能用于计算。

过程与方法：学生运用一元二次方程的知识探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式，掌握从特殊到一般，从个别到整体地观察、分析问题的方法，建立数学模型解决问题。

情感、态度与价值观：学生通过主动参与探索，在动手实验的过程中感受数学活动的乐趣。在数学活动学习过程中，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

重点：探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式

难点：运用一元二次方程建立数学模型，解决三角点阵中前n行的点数计算; 本节内容在教材中的地位和作用

本节课安排了一个数学活动——三角点阵中的前n行的点数计算,既是给小学中1+2+3+···+100的求和公式的推导给出答案,又给高中等差数列的前n项和的计算公式的推导方法----倒序相加求和法作一个很好的铺垫。

本节数学活动的学习,既能起到巩固旧知,激发学习新知的承前启后的作用。

学生学情状况

在本节课之前，学生学习了一元二次方程的相关知识，熟练掌握用公式法，配方法解一元二次方程，初步了解用十字相乘法解一元二次方程。而且积累了一些动手操作、观察比较、抽象概括、推理论证等数学活动经验。通过本节课学习，掌握从特殊到一般，从个别到整体地观察、分析问题的方法，建立数学模型解决问题。

教学过程

一、故事导入

高斯是德国著名的大科学家,他最出名的故事就是在他10岁时,小学老师出了一道算术难题:计算 1+2+3+……+100=? 这下可难倒了刚学数学的小朋友们,他们按照题目的要求,正把数字一个一个地相加.可这时,却传来了高斯的声音:“老师,我已经算好了!”

老师很吃惊,高斯解释道:因为1+100=101,2+99=101,3+98=101,……,49+52=101,50+51=101,而像这样的等于101的组合一共有50组,所以答案很快就可以求出:101×50=5050。

今天这节课我们学的知识与高斯的故事有关，今天我们来学习21章数学活动——三角点阵中前n行的点数计算

设计意图：通过学生熟悉的故事引入课题，激起学生兴趣。

【活动1】

回顾旧知

1.

一元二次方程的一般形式是什么？

2.解一元二次方程有哪几种方法？

3.一元二次方程的根与系数有什么关系？

4.学校要组织一次排球赛，参赛的每两个队之间都要比一场，共比赛15场，应邀请多少个队参赛？

5.同学之间互赠贺卡，每个人都给其他同学送一张贺卡，共送出420张贺卡，全班共有少个学生？

师生活动：学生代表在黑板上写出解题过程，学生的方法有：公式法，配方法，十字相乘法，教师巡视，适时点拔，让学生体会在解决实际问题过程中，十字相乘法比公式法和配方法的方便快捷。

设计意图：复习学过的知识，关联本节课的新知识。

【活动2】创设情境，发现规律

三角点阵中，从上往下有无数多行，

其中第一行有1 个点，第二行有

2 个点……第

n 行有

n 个点……前

n 行共有多少个点？

前1行的点数和是

前2行的点数和是

前3行的点数和是

前4行的点数和是

前100行的点数和是

前n行的点数和是

设计意图：创设情境，激发学生的学习兴趣和求知欲。

【活动3】小组讨论，得出结论 如果用试验的方法，由上而下逐渐相加其点数，虽然能得到结果，但是当n很大的时候，我们怎么简捷的得出答案呢？

学生先自主完成，然后合作交流，得出几下几种方法：

n(n+1)法一：把图形看成梯形，上底1，下底n，高也是n，面积s=

2

1´21=法二：前1行的点数和是

2

前

2行的点数和是

前3行的点数和是

2´323´46=23=4´510=前4行的点数和是

2

法三：

可以发现：

两式相加整理得：S前n行的点数和是

n(n+1)2

n(n1)2

法四：利用高斯的方法：

当n是偶数时，首尾相加：

1+n=n+1

2+(n-1)=n+1 共

n2对，所以

n(n1)S2当n是奇数时，n-1是偶数，

(n-1)nn(n+1)n-1s=+n=1+n-1=n

2+(n-2)=n ，共对，所以

222师生活动：学生自主探索，寻找解决问题方法，然后小组交流，教师巡视，参与到学生的讨论当中。

设计意图：学生运用一元二次方程的知识探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式，掌握从特殊到一般，从个别到整体地观察、分析问题的方法，建立数学模型解决问题。在自主探索与合作交流的过程中感受学习数学的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【活动4】动脑思考，解决问题

1.

假设三角点阵中前

n 行的点数和为

300，求

n 的值．

n(n+1)=3002

n 2 + n - 600 = 0

解得n 1 = 24，

n 2 = -25（舍去）

2.

三角点阵中前

n 行的点数和能是

600 吗？如果能，

求出

n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

n(n+1)=6002

n 2 + n - 1200 = 0 △=b2-4ac=12-4×1×(-1200)=4801,4801不是完全平方数，所以方程没有整数根，所以不存在点数和为 600 的情况。

师生活动：学生自主探索，寻找解决问题方法，学生代表在黑板上写出解题过程，教师巡视，给学生进行批改。

设计意图：以问题串的方式呈现问题，引导学生层层深入地思考。让学生独立思考发现解决问题的办法。

【活动5】拓展延伸

如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为

2，4，6，…，2n，…，你能探究出前

n 行的点数和满足什么规律吗？这个三角形点阵中前

n 行的点数和能是

600 吗？如果能，求出

n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

n(n+1)=600n 2 + n - 600 = 0

解得n 1 = 24，

n 2 = -25（舍去）

设计意图：在得到三角点阵前n行点数和计算的基础上，进一步巩固公式，拓展延伸。

【活动6】课堂小结

1.通过本节课的学习，你有哪些收获？

2.在解决问题的过程中,我们用到了以前学过的哪些知识？

设计意图：通过小结，使学生疏理本节课所学的内容。

作业： 25页复习题1-8题