小结与思考教学目标设计

湖塘实验中学2018-2019学年第一学期数学教学案

圆中最值

编写：张瑜 审核： 时间：2018.12 班级 姓名 学习目标：

1．探究圆外（或圆内）一点与圆上任意一点之间的距离最值模型；

2．探究圆上任意一点到定直线的距离最值模型；

3．会探究点的运动轨迹，利用数学模型解决问题. 一、自主研读初步学

【学法指导1】

1.回顾几何图形中求最值的两个基本定理：①两点之间线段最短；②过直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

2.基本模型一：点圆最值

如图（1），当点P在圆外时，点P到圆上任意一点

的最短距离为PA，

最长距离为 PB. 如图（2），当点P在圆内时，点P到圆上任意一点

的最短距离为PA，最长距离为 PB. 3.范例解析：

如图，在矩形

ABCD 中，AB=8，BC=6，将点

D

沿过

A

点的直线折叠，点

D

的对称点为

D’，

则线段

CD’的最小值为 ．

分析：因为AE是折痕，所以AD′=AD=6。

故点D的运动轨迹是以A为圆心，AD长为半径的圆。根据上述模型我们知道，当线段AC与⊙A相交于点D′时，此时CD′最小。所以CD′的最小值=AC-AD′

4.

巩固训练：

（1）

在△ABC中，∠ACB=90，AC=4,BC=6,点D是BC的中点，点E在边AB上运动，将△CDE沿DE翻折，得△FDE，求AF的最大值是 .

1 0图1 图2

湖塘实验中学2018-2019学年第一学期数学教学案

（2）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______ （3）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，BE⊥AD于E，则CE的最小值为___________ 【学法指导2】

1.基本模型二：线圆最值

如图1.当直线l与⊙O相离时，⊙O上任意

一点到直线l的最短距离是PA，最长距离是PB. 如图2.当直线l与⊙O相交时，⊙O上任意

一点到直线l的最长距离是PB. 2.范例解析

如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点

F

在边

AC 上，并且

CF=2，点

E

为边

BC 上的动点，将△CEF 沿直线

EF 翻折，点C 落在点P 处，则点

P

到边

AB 距离的最小值是 ．

分析：因为EF是折痕，所以FP=FC=2。

故点P的运动轨迹是以F为圆心，FC的长为半径的圆。根据上述模型我们知道，过点F作AB的垂线与⊙F的交点为P，此时PG的长即为点P到边AB的最小距离。

3.

巩固训练: （1）如图，已知在边长为

8

的正方形

ABCD 中，E 是

BC 边的中点，P 在过

A、E、D 三点的圆上， 则△APE 面积的最大值是 （2）如图，⊙O 的半径是

2，直线

l

与⊙O 相交于

A，B 两点，M，N 是⊙O 上两个动点，且在

l

的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形

MANB 的面积最大值是 ．

（3）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O

为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为 图1 图2

2

湖塘实验中学2018-2019学年第一学期数学教学案

（4）四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____

APD

O

BC

二、合作探究深化学

（一）检查与建构

（二）深度探究

问题3：在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=4，则△ADP面积的最大值 .

问题2：如图，点

O

为坐标原点，直径

AB＝10，动弦

CD＝8，点

M

为弦

CD 的中点，点P（-8,6），求PM

的最大值与最小值．

y

P

D

C

M

A

O

B

x

问题3.如图，△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 的中点为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P，Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值= .最小值= .

3

湖塘实验中学2018-2019学年第一学期数学教学案

三．检测总结巩固学

1.

如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求出A′C长度的最小值 2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6，点D是BC的中点，点E在边AB上运动，将△CDE沿DE翻折，得△FDE，求AF的最大值 3.如图，直线y3x3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为4半径的圆上的一个动点，连接PA，PB，则△PAB 面积的最大值为

B

y P

C

O

A

x 2.

（选做题）在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ACB=30°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点P的对应点是点P1,则线段EP1长度的最大值为_____________,最小值为_____________

4