直角三角形的性质与判定国家获奖教案

第1课时

直角三角形的性质与判定

1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；

2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点)

一、情境导入

古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？

二、合作探究

探究点一：直角三角形的性质与判定

【类型一】

判定三角形是否为直角三角形

具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(

) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【类型二】

直角三角形的性质的应用

，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.

(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由．

(2)如果∠A是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？

探究点二：勾股定理

【类型一】

直接运用勾股定理

已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D.求：

(1)AC的长；

(2)S△ABC；

(3)CD的长．

【类型二】

分类讨论思想在勾股定理中的应用

在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．

解析：本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．

探究点三：勾股定理的逆定理

【类型一】

判断三角形的形状

如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(

)

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．以上答案都不对

【类型二】

利用勾股定理的逆定理证明垂直关系

如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD，求证：CE⊥EF.

证明：连接CF，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，∴∠FEC＝90°，即EF⊥CE. 方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法．

【类型三】

运用勾股定理的逆定理解决面积问题

如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．

解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将△ABC和△ACD这两个直角三角形的面积求出，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．

解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．∵AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144. 方法总结：此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．