利用完全平方差公式进行因式分解教学教案设计

3 公

式

法

【教学目标】

知识技能目标

1.理解平方差公式和完全平方公式的本质:即结构的不变性,字母的可变性. 2.会用公式法进行因式分解. 过程性目标

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学中互逆、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性. 情感态度目标

在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中能向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”. 【重点难点】

重点:运用公式法进行因式分解

难点:灵活选择适当的方法进行因式分解

【教学过程】

一、创设情境

填空: (1)(x+5)(x-5)=________________.

(2)(3x+y)(3x-y)=________________.

(3)(3m+2n)(3m-2n)=________________.

它们的结果有什么共同特征? 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积: - 1 -

x2-25=________________.

9x2-y2=________________.

9m2-4n2=________________.

二、探究归纳

将多项式a2-b2进行因式分解

∵(a+b)(a-b)=a2-b2

整式乘法

∴a2-b2=(a+b)(a-b)

因式分解

结论:整式乘法公式的逆向变形得到因式分解的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法. 活动内容: 说一说

找特征

a2-b2=(a+b)(a-b) (1)公式左边:(是一个将要被分解因式的多项式) ★被分解的多项式含有两项,且这两项异号,并且能写成(

)2-(

)2的形式. (2)公式右边:(是分解因式的结果) ★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式. 试一试

写一写

下列多项式能转化成(

)2-(

)2的形式吗? 如果能,请将其转化成(

)2-(

)2的形式. - 2 -

(1)m2-81=m2-92

(2)1-16b2=12-(4b)2

(3)4m2+9 不能转化为平方差形式

(4)a2x2-25y2=(ax)2-(5y)2

(5)-x2-25y2

不能转化为平方差形式

类比完全平方公式

完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2 现在我们把完全平方公式反过来,可得: a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

两个数的平方和,加上(或减去)这两个数的积的两倍,等于这两数和(或者差)的平方. 形如a2+2ab+b2

a2-2ab+b2的多项式称为完全平方式. 9x2-6x+1=(3x)2-2·(3x)·1+12=(3x-1)2

结论:找完全平方式可以紧扣下列口诀:首平方、尾平方,首尾相乘两倍在中央. 完全平方式可以进行因式分解, a2-2ab+b2=(a-b)2

a2+2ab+b2=(a+b)2

例1:把下列各式因式分解

(1)25-16x2

(2)9a2-b2

例2:把下列各式因式分解

- 3 -

(1)x2+14x+49 (2)4a2-12ab+9b2

例3:如图,在一块边长为a cm的正方形纸片的四角,各剪去一个边长为b cm的正方形.用a与b表示剩余部分的面积,并求当a=3.6 cm,b=0.8 cm时的面积. 问题解决:如图,大小两圆的圆心相同,已知它们的半径分别是R cm和r cm,求它们所围成的环形的面积.如果R=8.45 cm,r=3.45 cm呢?(π取3.14)

三、交流反思

1.从今天的课程中,你学到了哪些知识? 掌握了哪些方法? 通过学生的回顾与反思,强化学生对整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式互逆关系的理解,发展学生的观察能力和逆向思维能力,加深对类比数学思想的理解. 学生认识到了以下事实: (1)有公因式(包括负号)则先提取公因式. (2)整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系. (3)平方差公式中的a与b既可以是单项式,又可以是多项式. 2.(1)用简便方法计算:20052-4010×2003+20032

(2)将4x2+1再加上一个整式,使它成为完全平方式,你有几种方法? (3)一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”

四、检测反馈

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1.把下列各式因式分解: (1)-9+4x2

(2)m2-12mn+36n2

(3)-2xy-x2-y2

2.把下列各式因式分解: (1)-(2m-n)2

(2)x2y2-z2

(3)(m+n)2-6(m+n)+9 (4)p4-1 五、布置作业: 1.完成课本P103习题

2.(1)(m-a)2-(n+b)2

(2)49(a-b)2-16(a+b)2

(3)(x2+y2)2-4x2y2

(4)3ax4-3ay4

六、板书设计

1.平方差公式

例题

2.完全平方公式

七、教学设计反思

本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法,即逆用完全平方公式分解因式的方法,使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征:两数的平方和与这两个数的乘积的2倍,具体应用时要特别关注第二项的符号.

把一个多项式进行因式分解的一般方法是:先看有无公因式可提取,然后再尝试用公式法分解因式,直到最终结果再也不能分解因式为止. - 5 -

运算类型的课往往比较枯燥,学生容易产生浮躁的心理,不利于知识的掌握与运算能力的提高.本节课的设计尽量做到平实无华,将新知教学层层深入,适当的巩固练习,每一个环节让学生感觉不吃力.同时设计过程中注意题型的变化,引导学生暴露学习中的问题,这样易于激发学生的兴趣,使学生的思维不断被拓展,从而达到强化所学知识和提高能力的目的. - 6 -