等腰三角形的判定与反证法教学评价实录

第一章

三角形的证明

【单元分析】

本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了

8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。

运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。

【单元目标】

1.知识与技能

（1）等腰三角形的性质和判定定理；

（2）直角三角形的性质定理和判定定理；

2.过程与方法

（1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题；

（2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题；

3.情感态度与价值观

（1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；

（2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。

【单元重点】

在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

【单元难点】

明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

【教学思路】

1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。

2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。

3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。

4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。

【单元课时安排】

课题

1.1 等腰三角形

1.2 直角三角形

1.3 线段的垂直平分线

1.4 角平分线

回顾与思考

课时

4课时

2课时

2课时

2课时

2课时

1.1 等腰三角形

【教学目标】

1．知识与技能

理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理。

2．过程与方法

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。

3．情感态度与价值观

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系。

【教学重点】

经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程。

【教学难点】

用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。

【教学方法】

讲授法

【课时安排】 4课时

第一课时

【教学目标】

1．知识与技能

能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

2．过程与方法

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。

3．情感态度与价值观

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系。

【教学重点】

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。

【教学难点】

明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

【教学过程】

教学过程

第一环节：回顾旧知 导出公理

提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

教学随笔

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），

又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠C=180°-(∠A+∠B)，

∠F=180°-(∠D+∠E)，

∴∠C=∠F（等量代换）。

又BC=EF（已知），

∴△ABC≌△DEF（ASA）。

第二环节：折纸活动

探索新知

在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。

AA

A

B

BBCDDD(C)C

第三环节：明晰结论和证明过程

在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合

第四环节：随堂练习 巩固新知

学生自主完成P4第2题：如图（图略）,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BAD的度数。

第五环节：课堂小结

让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。

第六环节：布置作业

课本第4页习题1.1第2、3题

→

→

【板书设计】

1.1 等腰三角形（一）

证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），

又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠C=180°-(∠A+∠B)，

∠F=180°-(∠D+∠E)，

∴∠C=∠F（等量代换）。

又BC=EF（已知），

∴△ABC≌△DEF（ASA）。

【教学反思】

第二课时

【教学目标】

1．知识与技能

进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性。

2．过程与方法

让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎

逻辑推理的能力。

3．情感态度与价值观

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性。

【教学重点】

用面积法验证勾股定理。

【教学难点】

用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。

【教学过程】

教学过程

第一环节：提出问题，引入新课

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一

第二环节：自主探究

在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。

你可能得到哪些相等的线段？

教学随笔

你如何验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；

还可以有哪些证明方法？

通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明。

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．

求证：BD=CE．

证法1：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．

11∵∠1=

∠ABC，∠2=

∠ABC，

22∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2：证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

又∵∠3=∠4．

在△ABC和△ACE中，

∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．

第三环节：经典例题 变式练习

AE3BD421C

提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

11(1)如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结34论? 1111(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果AD= AC，AE= AB呢?2233由此你得到什么结论? 第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质

提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 已知：在ΔABC中，AB=BC=AC．

求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．

同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．

学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°”的证明过程：

第五环节：

随堂练习 及时巩固 在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。

1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形. 求证:AE=CD

BDECA 活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。

第六环节：探讨收获 课时小结

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并

由特殊结论归纳出一般结论，

第七环节：布置作业

课本第7页习题1.2第2、3题

【板书设计】

1.2 等腰三角形（二）

已知：在ΔABC中，AB=BC=AC．

求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．

同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．

【教学反思】

第三课时

【教学目标】

1．知识与技能

探索等腰三角形判定定理。

2．过程与方法

理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。

3．情感态度与价值观

培养学生的逆向思维能力。

【教学重点】

理解等腰三角形的判定定理。

【教学难点】

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

【教学过程】

教学过程

第一环节：复习引入

通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？

第二环节：逆向思考，定理证明

教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问

教学随笔

题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可A以了．

[师]你是如何想到的? [生]由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．

BC[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．

[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．

[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评) (证明略) [师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．

第三环节：巩固练习A

将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。引导学生进行分析。

M D N 已知：如图，∠CAE是△求证：AB=ACB C ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

．

证明：∵AD∥BC，

∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，

A1∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)． 2D又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

∴AB=AC(等角对等边)．

第四环节：适时提问 导出反证法

BC我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 有学生提出：“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢? 我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时ABA与Ac要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC 你能理解他的推理过程吗? BC

【板书设计】

1.1 等腰三角形（三）

已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

求证：AB=AC．

A1D2证明：∵AD∥BC，

∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，

∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

BC∴AB=AC(等角对等边)．

【教学反思】

第四课时

【教学目标】

1．知识与技能

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2．过程与方法

经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

3．情感态度与价值观

在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重点】

等边三角形判定定理的发现与证明。

【教学难点】

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

【教学过程】

教学过程

第一环节：提问问题，引入新课

教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。

开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。

(教师应给学生自主探索、思考的时间) 第二环节：自主探索

学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

等腰三角形性质

等边对等角

判定的条件

等角对等边

教学随笔

（含等边三角形）

“三线合一”即等腰有一角是60°

三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合

等边三角形三个角三个角都相等的都相等，且每个角都三角形是等边三是60°

角形

经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。

第三环节：实际操作

提出问题

活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? 在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．

让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

1求证：BC=

AB．

2分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°. 延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)．

∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°

A∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．

∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．

∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．

11∴BC=

BD=

AB．

22BD第四环节：变式训练

巩固新知

C直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?如果是，请你证明它．

在师生分析的基础上，给出证明：

1已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=

AB．

2求证：∠BAC=30°

证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

∴△ACB≌△ACD(SAS)．

∴AB=AD．

1∵CD=BC，∴BC=

BD．

21又∵BC=

AB，∴AB=BD．

2BAAD(1)CBAACD(2)BB∴AB=AD=BD，

DCC即△ABD是等边三角形．

∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。

等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长. 分析：观察图形可以D发现在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△AABC的一个外角，而∠DAC=×15°=30°，根据在BC直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．

解：∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

11∴CD=

AC=

×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么22它所对的直角边等于斜边的一半)．

第五环节：畅谈收获

课时小结

让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

第六环节：布置作业

【板书设计】

1.1 等腰三角形（四）

1已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=

AB．

2求证：∠BAC=30°

证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

∴△ACB≌△ACD(SAS)．

∴AB=AD．

1∵CD=BC，∴BC=

BD．

21又∵BC=

AB，∴AB=BD．

2ABCD

AABD(1)CBD(2)C∴AB=AD=BD，

即△ABD是等边三角形．

∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

【教学反思】