解决实际中的概率问题课件配套优秀教案案例

1．2 生活中的概率

教案

三维目标

1．正确理解概率的意义；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．

2．通过对现实生活中的“掷币”“游戏的公平性”“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．

3．通过对概率的实际意义的理解，体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观，进而体会数学与现实世界的联系．

重点难点

教学重点：理解概率的意义．

教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.酒宴中的“行酒令”，其规则是：先按饮酒人制作出与人数相等的完全一致的酒签，然后由其中一人将欲设的签数放到左手(不可为0)，然后由其余人猜其左手签数，要求只能从1至总人数的个数中任选一整数，并且后猜者与先猜者不得重复，当猜者所猜数字与设计者左手中的签数相同时，猜者就需饮酒，这个游戏规则是公平的吗？为此我们必须学习概率的意义．

思路2.生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了．”这是真的吗？为此我们必须学习概率的意义．

推进新课

新知探究

提出问题

1．有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续抛掷一枚硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种想法正确吗？

12．如果某种彩票中奖的概率为，那么买1 000张彩票一定能中奖吗？

1 0003．在乒乓球比赛中，裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁先发球，其具体规则是：让两名运动员背对背站立，规定一名运动员得单数胜，另一名运动员得双数胜，然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指，两个人的手指数的和为单数，则指定单数的运动员得到先发球权，若两个人的手指数的和为双数，则指定双数胜的运动员得到先发球权，你认为这个规则公平吗？

4．“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了．”学了概率后，你能给出解释吗？

5．阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学．

6．如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点．你认为这枚骰子的质地均匀吗？为什么？

活动：学生阅读问题，根据学习的概率知识，针对不同的问题给出合理解释，教师引导学生考虑问题的思路和方法：

1

1．通过具体试验验证便知，以概率的知识来理解．就是：尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面朝上各一次，但通过具体的试验却发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”，而且其概率分别为0.25，0.25，0.5. 几个同学各取一枚同样的硬币(如壹角、伍角、壹元)，连续两次抛掷，观察它落地后的朝向，并记录结果，重复上面的过程10次，将所有参与试验的同学结果汇总，计算三种结果发生的频率，估出三种结果的概率，填入下面表格：

试验的总次数

频数

频率

概率

出现两次正面朝上

出现两次反面朝上

出现一次正面朝上，一次反面朝

上

随着试验次数的增加，可以发现，“一次正面朝上，一次反面朝上”的频率与“两次正面朝上”“两次反面朝上”的频率不一样，它们分别是0.5,0.25和0.25，进而知道“两次正面朝上”的概率为0.25，“两次反面朝上”的概率为0.25，“一次正面朝上，一次反面朝上”的概率是0.5. 通过上面的试验，我们发现，随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，认识了这种随机性的规律性，可以帮助我们准确预测随机事件发生的可能性．

2．买1 000张彩票，相当于1 000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1 000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1 000张彩票有可能没有一张中奖．虽然中奖的张数是随机的，但这种随机性中，具有规律性，随着1试验次数的增加，即随着买的彩票的增加，大约有的彩票中奖，所以没有1 000一张中奖也是有可能的．

请同学们把同样大小的9个白色乒乓球和1个黄色乒乓球放在1个不透明的袋中，然后每次摸出1个球后再放回袋中，这样摸10次，观察是否一定至少有1次摸到黄球．

因为每次摸出1个球相当于1次随机试验，其结果有两种可能：黄球或白球，随着试验次数的增加，会发现摸到白球的频率要比摸到黄球的频率大，但没有1次摸到黄球也是有可能的，所以不一定至少有1次摸到黄球．

3．是公平的．由于2人出手指的结果有单数和双数，每个人出单数和双数的机会是相等的，因此，和为单数和双数的机会是相等的，因而是公平的．

4．天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．

5．阅读课本的内容后加以说明．

6．利用概率知识加以说明．

讨论结果：

1．这种想法显然是错误的，通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”，而且其概率分别为0.25，0.25,0.5. 2．不一定能中奖，因为买1 000张彩票相当于做1 000次试验，因为每次

2

试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1 000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖．

3．规则是公平的．

4．天气预报的“降水”是一个随机事件，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．

5．奥地利遗传学家(G.Mendel,1822—1884)用豌豆进行杂交试验，下表为试验结果(其中F1为第一子代，F2为第二子代)：

性状

F1的表现

F2的表现

种子的形状

全部圆粒

圆粒5 474

皱粒1 850

圆粒∶皱粒≈2.96∶1 茎的高度

全部高茎

高茎787

矮茎277

高茎∶矮茎≈2.84∶1 子叶的颜色

全部黄色

黄色6 022

绿色2 001

黄色∶绿色≈3.01∶1 饱满∶不饱满豆荚的形状

全部饱满

饱满882

不饱满299

≈2.95∶1 孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件，其可能性为100%，另一种性状的可能性为0，而第二子代对于前一种性状的可能性约为75%，后一种性状的可能性约为25%，通过进一步研究，他发现了生物遗传的基本规律．实际上，孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的．

(6)利用刚学过的概率知识我们可以进行推断，如果它是均匀的，通过试验1和观察，可以发现出现各个面的可能性都应该是，从而连续10次出现1点的概6110率为≈0.000 000 001 653 8，这在一次试验(即连续10次投掷一枚骰子)中6是几乎不可能发生的．而当骰子不均匀时，特别是当6点的那面比较重时(例如灌了铅或水银)，会使出现1点的概率最大，更有可能连续10次出现1点．

现在我们面临两种可能的决策：一种是这枚骰子的质地均匀，另一种是这枚骰子的质地不均匀．当连续10次投掷这枚骰子，结果都是出现1点，这时我们更愿意接受第二种情况：这枚骰子靠近6点的那面比较重．原因是在第二种假设下，更有可能出现10个1点．

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，例如对上述思考题所作的推断．这种判断问题的方法称为极大似然法．极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．

应用示例

例1 为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法，先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾．

试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．

分析：学生先思考，然后交流讨论，教师指导，这实际上是概率问题，即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比，特别是500尾中带记号的有40尾，就说40明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为，问题可解．

5002 000解：设水库中鱼的尾数为n，A＝{带有记号的鱼}，则有P(A)＝.①

n

3

40，②

5002 00040由①②得＝，解得n≈25 000.

n500所以估计水库中约有鱼25 000尾. 变式训练

1．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：

(1)求这种鱼卵的孵化概率(孵化率)；

(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？

(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概得准备多少鱼卵？(精确到百位) 8 513解：(1)这种鱼卵的孵化频率为＝0.851 3，它近似的为孵化的概率．

10 000x8 513(2)设能孵化x个，则＝，则x＝25 539，

30 00010 000即30 000个鱼卵大约能孵化25 539尾鱼苗．

5 0008 513(3)设需备y个鱼卵，则＝，则y≈5 874，

y10 000即大概得准备5 874个鱼卵．

2．有人告诉你，放学后送你回家的概率如下：

(1)50%；(2)2%；(3)90%. 试将以上数据分别与下面的文字描述相配．

①很可能送你回家，但不一定送．

②送与不送的可能性一样多．

③送你回家的可能性极小．

答案：50%→②；2%→③；90%→①. 例2 概率与计算机输入法

在使用计算机输入法时，英语中某些字母出现的概率远远高于另外一些字母．当进行了更深入的研究之后，人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定，例如：下面就是英文字母使用频率的一份统计表．

字母

空格

E T O A N I R S

0.064 频率

0.2

0.105

0.071

0.063

0.059

0.054

0.053

0.052 4

字母

H D L C

F U M P Y

因P(A)≈频率

0.047

0.035

0.029

0.023

字母

0.022 0.022 0.017 0.021

0.012 7

5

5

W G B V K X J Q Z

0.010 0.008

0.003

0.002

0.001

0.001

0.001 5

从表中可以看到，空格的使用频率最高，鉴于此，人们在设计键盘时，空格键不仅最大，而且放在了使用最方便的位置．

近年来对汉语的统计研究有了很大的发展．关于汉字的使用频率已有初步统计资料，对常用汉语也作了一些统计研究．这些信息对汉字输入方案等的研制有频率

0.012

0.011

4

很大的帮助．使用过汉字拼音输入法的同学们可能有体会．例如：当输入拼音“shu”，则提示有以下选择“1.数，2.书，3.树，4.属，5.署……”．这个显示顺序基本上就是按照拼音为“shu”的汉字出现频率从大到小排列的. ▼

数

书

树

属

署

输

淑

术

舒

⊲►

例3 概率与法律

概率论正越来越多地出现在法庭之上.1968年美国加利福尼亚州的一个案件引起了人们的广泛关注．目击证人说看到一个金发并且扎马尾样发式的白人妇女和一个有八字须和络腮胡的黑人男子从洛杉矶郊区的一个小巷跑出来，而那里正是一位老人刚刚遭受背后袭击和抢劫的地方．这对男女开着一辆部分是黄色的汽车逃跑了．

因此当地警察逮捕了Jenet和Malcolm夫妇俩，他们有一辆部分是黄色的林肯轿车，她通常把她的金发扎成马尾状．他是一个黑人，尽管被捕时他的胡子刮得很干净，但仍然能看出不久前他还是满脸络腮胡的痕迹．

在审判中，公诉人指控他夫妇俩有罪的证据是——“数字证明”．以下是由证人指出的特征算出的“保守概率”：

1有八字胡的男人，

41扎马尾发型的女人，

101金发女人，

31有络腮胡的黑人男子，

101不同种族的夫妇同在一辆车里，

1 0001部分是黄色的汽车. 101公诉人于是得出这些概率的乘积为，因此在洛杉矶地区存在另一12 000 0001对有上述特征的夫妇的可能性小于. 10 000 000陪审团于是判定这对夫妇有罪．但是加州高院在上诉中驳回了这样的定罪，还列举了几条错误使用概率的论证．由此看来概率论已经成为美国法律诉讼中的重要工具，是判定当事人是否与案件有关的重要依据，这种趋势也必然会来到中国，使得我国的法律诉讼更加科学、客观、公正．

例4 如何得到敏感问题的诚实回答？

在做抽样调查时我们总是许诺说：“绝对会为您保守秘密．”但是被访人往往心有疑虑，在统计行业还不能达到像记者行业那样为当事人绝对保密时，这样的怀疑是理所当然的．但是我们的数据会因此失真，为了得到真实的回答，只能千方百计地得到他们的信任，降低问题的敏感程度．

1965年Stanley.L.Warner发明了一种应用概率的初等概念来消除不信任情绪的方法．这种方法要求被访人随机地选答两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题，两个问题中一个是敏感问题，一个是无关紧要的问题．被访人愿意如实回答，因为只有他们自己知道回答的是哪个问题．

5

比如：无关紧要的问题是：“你的身份证号码最后一位是奇数吗？”另一个问题是：“你是否吸毒？”然后你要求被访人掷一枚硬币，如果得到正面则回答前一个问题，如果是反面则回答后一个问题，当然调查员不知道他们掷硬币的结果．

假设我们采访了200人，并得到64个“是”的回答．因为掷硬币的正反面1概率各是，所以我们期望有100人回答前一个问题，因为身份证号码最后一位21是奇数或偶数的概率也各是，所以100人中有50人回答“是”．因此回答敏感214问题的100人中有64－50＝14人回答“是”．由此可知被访人群约有＝14%100吸毒．

刚看到这个问题时觉得有点不可思议，因为这个问题太敏感了．可是仔细想想也很好理解，我们只需要知道被访人群中吸毒者的总数，并不需要知道究竟谁吸毒(这是警察的任务)．正是巧妙的数学工具使我们轻松地得到答案，而且调查的精度也可以控制．

知能训练

课本练习2 1,2,3.

拓展提升

某商场为迎接国庆举办新产品问世促销活动，方式是买一份糖果摸一次彩，摸彩的器具是绿、白两色的乒乓球，这些乒乓球的大小和质料完全相同．商场拟按中奖率1%设大奖，其余99%为小奖．为了制定摸彩的办法，商场向职工广泛征集方案，对征集到的优秀方案进行奖励．如果你是此商场职工，你将会提出怎样的方案？

注：商场提供的摸彩器材是棱长约30 cm的立方体形木箱，密封良好，不透光，木箱上方可容一只手伸入，另备足够多的白色乒乓球和少量绿色乒乓球．

解：方案一：在箱内放置100个乒乓球，其中1个为绿色乒乓球，其余99个为白色乒乓球．顾客一次摸出1个乒乓球，如果为绿色乒乓球，即中大奖，否11则中小奖．本方案中大奖的概率为P1＝1＝. C100100方案二：在箱内放置14个乒乓球，其中2个为绿色乒乓球，其余12个为白色乒乓球．顾客一次摸出2个乒乓球为绿色，即中大奖；如果摸出的2个乒乓球1为白色，或1个为白色、1个为绿色，则中小奖．本方案中大奖的概率为P2＝2C141＝. 91方案三：在箱内放置15个乒乓球，其中2个为绿色乒乓球，其余13个为白1色乒乓球．顾客摸球和中奖的办法与方案二相同．本方案中大奖的概率为P3＝2C151＝. 105方案四：在箱内放置25个乒乓球，其中3个为绿色乒乓球，其余22个为白色乒乓球．顾客一次摸出2个乒乓球(或分两次摸，每次摸一个乒乓球，不放回)，如果摸出的2个乒乓球为绿色，即中大奖；如果摸出的2个乒乓球为白色，或1

6

C225×243个为白色、1个为绿色，则中小奖．本方案中大奖的概率为P4＝2＝3÷＝C251×21. 100

课堂小结

概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索．通过以上例题与练习可以感到，数学特别是概率正越来越多地应用到我们的生活当中．它们已经不是数学家手中的抽象理论，而成为我们认识世界的工具．从彩票中奖到证券分析，从基因工程到法律诉讼，从市场调查到经济宏观调控，概率无处不在．

作业

习题3—1 A组

2,3. 设计感想

1．对概率意义的正确理解，是建立在学生通过大量重复试验后，发现事件发生的频率可以刻画随机事件发生可能性的基础上的．结合学生认知规律与教科书特点，这节课以掷硬币研究各种结果的可能性为问题情境，引导学生亲身经历猜测试验—收集数据—分析结果的探索过程．这符合《高中数学新课程标准》“从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程”的理念．

贴近生活现实的问题情境，不仅易于激发学生的求知欲与探索热情，而且会促进他们面对要解决的问题大胆猜想，主动试验，收集数据，分析结果，为寻求问题解决主动与他人交流合作．在知识的主动建构过程中，促进了教学目标的有效达成．更重要的是，主动参与数学活动的经历会使他们终身受益．

2．随机现象是现实世界中普遍存在的，概率的教学的一个很重要的目标就是培养学生的随机观念．为了实现这一目标，教学设计中让学生亲身经历对随机事件的探索过程，通过与他人合作探究，使学生自我主动修正错误经验，揭示频率与概率的关系，从而逐步建立正确的随机观念，也为以后进一步学习概率的有关知识打下基础．

3．在教学中，本课力求向学生提供从事数学活动的时间与空间，为学生的自主探索与同伴的合作交流提供保障，从而促进学生学习方式的转变，使之获得广泛的数学活动经验．教师在学习活动中是组织者、引导者与合作者，应注意评价学生在活动中的参与程度、自信心、是否愿意交流等，给学生以适时的引导与鼓励．

备课资料

1．概率论的产生，还有一段名声不好的故事.17世纪的一天，保罗与著名的赌徒梅尔赌钱，他们事先每人拿出6枚金币，然后玩，约定谁先胜三局谁就得到12枚金币．比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博．于是，他们商量这12枚金币应该怎样合理地分配．保罗认12为，根据胜利的局数，他自己应得总数的，即4枚金币，梅尔应得总数的，即338枚金币．但精通赌博的梅尔认为他赢的可能性大，所以他应该得到全部的金币，

7

于是他们请求数学家帕斯卡评判．帕斯卡得到答案后，又求教于数学家费尔马．他们的一致裁决是：保罗应分得3枚金币，梅尔应分得9枚金币．

试问：

1．你知道数学家帕斯卡和费尔马当时各自是怎样考虑和解决的吗？

2．你对数学家帕斯卡和费尔马了解多少？

思路：帕斯卡是这样解决的：如果再玩一局，或是梅尔胜，或是保罗胜．如梅尔胜，那么他可以得到全部的金币(记为1)，如果保罗胜，那么两人各胜两局，1应各得金币的一半记为.由于这一局中两人获胜的可能性相等，因此梅尔得金2113币的可能性应是两种可能性大小的一半，记梅尔为1＋÷2＝，保罗为0＋2241÷2＝.所以他们各得9枚和3枚金币．

4

[法国]帕斯卡1623—1662

[法国]费尔马1601—1665 图1 费尔马是这样考虑的：如果再玩两局，会出现四种可能的结果：(梅尔胜，保罗胜)；(保罗胜，梅尔胜)；(梅尔胜，梅尔胜)；(保罗胜，保罗胜)．其中前三种结果都是梅尔取胜，只有第四种结果才能使保罗胜，所以梅尔取胜的概率为31，保罗取胜的概率为.因此梅尔应得9枚金币，而保罗应得3枚金币．这和帕44斯卡的答案一致．

帕斯卡和费尔马还研究有关这类随机事件的更一般的规律，由此开始了概率论的早期研究工作．

2．在密码的编制和破译中，概率论起着重要的作用．要使敌人不能破译电文而又能使盟友容易译出电文，一直是外交官和将军们关心的问题．为了保密，通信双方事先有一个秘密约定，称为密钥．发送信息方要把发出的真实信息——明文，按密钥规定，变成密文．接收方将密文按密钥还原成明文．例如，古罗马伟大的军事家和政治家凯撒大帝把明文中的每个字母按拉丁字母次序后移三位之后的字母来代替，形成密文．接收方收到密文后，将每个字母前移三位后便得到明文．这是一种原始的编制密码方法，很容易破译．

在书面语言中单个的字母不是以同样的频率出现的．从例2中英文字母出现频率的统计表中我们可以看出，在英文常用文章中，平均说来出现字母“E”的频率约为10.5%，“T”约为7.1%，而“J”的出现远小于1%.例如像凯撒大帝用过的简单密码，用FRGHV来代替CODES，容易通过对电文中字母的频率分析来破译．出现频率最高的字母大概表示“E”，出现频率次高的字母大概是“T”，等等．

现代保密系统采用了能确保每个字母出现在密文中的概率都相等的技术．一种理论上不可破译的密码是“一次性密码本”(用后立即销毁)．这种密码本是一

8

长串的随机数，每个都在1和26之间．这样一种密码本可能从以下数开始：19,7,12,1,3,8，….如“ELEVEN”这个词，用按字母表顺序排在E后面第19个字母表示E，而用L后面第7个字母表示L，等等．因此，ELEVEN变成了XSQWHV.注意，尽管在明文中“E”出现3次，但是在密文XSQWHV中却是用三个不同的字母来替换的．

3．概率天气预报是用概率值表示预报量出现可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无”、某种气象要素值的“大”或“小”，而是天气现象出现的可能性有多大．如对降水的预报，传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水的可能性越大．概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面，又反映了天气变化的不确定性和不确定程度．在许多情况下，这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要．

请问同学们对概率天气预报如概率降水预报了解多少？

答案：概率，通俗地讲就是某件事发生的可能性，用0～1之间的一个小数表示，概率愈大，某事件发生的可能性也就愈大．降水概率预报，顾名思义就是一种未来出现降水可能性大小的预报．为方便用户使用，降水概率一般用百分数表示，与常规降水预报不同的是，它预报的不是降水的有、无，而是出现降雨的概率．在实际应用时，一般以50%作为“参考点”，当降水概率低于50%时，概率愈小，降水的可能性也就愈小；当降水概率高于50%时，概率愈大，降水的可能性也就愈大；如果降水概率正好是50%左右时，有雨和无雨的可能性大致相当，这时就没有使用意义了．不过，在我们的概率预报中，是不会出现这种情况的，这是因为当降水概率出现在50%附近时，我们会运用多种手段，作出更进一步分析，将有应用价值的结论提供给人们使用．

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