5.2 平行线及其判定  名师教学实录

第2讲

平行线及其判定平行线的性质

教学目标：

1.

平面内两条直线相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论．

2.

掌握两直线平行的判定条件，并能解决一些问题．

3.

掌握平行线的三个性质，并能用它们进行简单的推理和计算．

教学重点：平面内两条直线的相交和平行的位置关系,平行的性质和判定的综合应用

教学难点：平行的性质和判定的综合应用. 【知识框架】

教学过程

一、课堂导入

两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？

答：两条直线相交有且仅有一个交点．

在平面内，两条直线除了相交外，有其他的位置关系吗？

答：不相交的情况．

二、知识讲解

考点1 平行线的定义及表示方法

同一平面内，存在一个直线a与直线b不相交的位置，这时直线a与b互相平行．换言之，同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与b是平行线，记作“∥”，这里“∥”是平行符号．

考点2 平行公理及推论

已知：直线a，点B，点C. (1)过点B画直线a的平行线，能画几条？

(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？

观察画图，我们可得：

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

比较平行公理和垂线的第一条性质：

共同点：都是“有且只有一条直线”，这表明过一点与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的．

不同点：平行公理中所过的“一点”要在已知直线外；垂线性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可在直线外．

平行公理的推论：

两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．用数学符号来表示：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

考点3 平行线判定

(1)怎样判别两条直线是否平行.

(2)平行线有什么特征? (3)对比平行线的性质和直线平行的条件,它们有什么异同? (4)为什么研究平面内两直线的位置关系总是与角联系起来?围绕这些问题展开讨论,交流. 平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断，而性质则是“形”到“数”的说理，在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角或角之间的关系. 学生练习:①填空:如图(8),当_______时,a∥c,理由是________;当______时,b∥c,理由是_________;当a∥b,b∥c时,______∥______,理由是_________. d12aAADDbcBB'C

34B(10) C

(8)

(9) ②如图(9),AB∥CD,∠A=∠C,试判断AD与BC的位置关系?为什么? 教师根据学生情况酌情给予引导. 平行线的判定方法：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. （4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行. （5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 考点4 平行线的性质：

性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为两直线平行，同位角相等．

性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为两直线平行，内错角相等．

性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为两直线平行，同旁内角互补．

考点5 命题、定理、证明

命题的组成. ①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. ②命题的形成，可以写成“如果……，那么……”的形式.

1、判断一件事情的句子，叫 命题 . 2、每个命题都是由题设， 结论 两部分组成的。题设是 已知事项 ；结论是由已知事项推出的 未知事项 . 3、如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；

如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题. 4、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明. 5、尝试反馈理解新知

明确命题有正确与错误之分：

命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 三、例题精析

【例题1】

如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2满足什么关系，a∥b，请说明理由．

【答案】

解：∠1+∠2=180°，则a∥b．

∵∠1=∠3，∠1+∠2=180°，

∴∠2+∠3=180°，

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．

【解析】要判定a∥b，根据同旁内角互补，两直线平行可知，∠2+∠3=180°，又由对顶角相等得∠1=∠3，故∠1与∠2的关系可求．

【例题2】

已知如图所示，B，A，E在一条直线上，∠1=∠B，问∠C与∠2相等吗？为什么？

【答案】

解：∠C=∠2，理由如下：

∵∠1=∠B；

∴AD∥BC，

∴∠2=∠C．

【解析】先根据平行线的判定，同位角相等得两直线平行，再根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等求证．

【例题3】

观察如图所示图形，若使AD∥BC，需添加什么条件？从同位角，内错角，同旁内角三个方面各举一个例子即可．

【答案】

解：同位角：∠EAD=∠EBC，则AD∥BC；

内错角：∠ADB=∠DBC，则AD∥BC；

同旁内角：∠DAF+∠ABC=180度，则AD∥BC．

【解析】从AD、BC的截线入手，分析所构成的“三线八角”图形中各角的位置关系，利用平行线的判定方法解答．

【例题4】

如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO=α，∠DCO=60°，则∠BOC的度数为（

）

A．180°- B．120°- C．60+ D．60°-

【答案】D. 【解析】

连接BC，由AB∥CD可以推出∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，而∠CBO+∠BCO+∠0=180°，由此可以证明∠0=∠ABO+∠DCO．

解：连接BC，

∵AB∥CD，

∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，

而∠CBO+∠BCO+∠0=180°，

∴∠0=∠ABO+∠DCO=60°+．

故填空答案：60+．

【例题5】

下列语句不是命题的是(

)．

A．两条直线相交只有一个交点

B．两点之间，线段最短

C．熊猫没有翅膀．

D．连接A、B两点

【答案】

D．

【解析】

判断一件事情的语句叫做命题，而四个选项，只有选项D不是判断性的语句，因此选项D不是命题. 三、课堂运用

基础：

1.

在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是 (

) A．相交或平行

B．相交或垂直

C．平行或垂直

D．不能确定

2. 下列说法中，正确的说法有(

)．

①平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定相等；②平移三角形ABC得到三角形

，对应线段一定平行；③平移三角形ABC得到三角形变；④平移三角形ABC得到三角形平移三角形ABC得到三角形，三角形的周长保持不，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤，三角形的面积不变．

A．①②③④

B．①②③④⑤

C．①②③⑤

D．①③④⑤

3.如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（ ）

A．∠α+∠β+∠γ=180°

B．∠α+∠β﹣∠γ=360°

C．∠α﹣∠β+∠γ=180°

D．∠α+∠β﹣∠γ=180°

答案与解析

1.【答案】

A.

【解析】解:在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行或相交. 故答案为:A

2.【答案】

D.

【解析】

因为平移不改变图形的形状和大小，据此可知，平移三角形ABC得到三角形后，其对应线段、周长和面积均保持不变，因此①③⑤都正确．而图形平移后，其对应线段要么平行，要么在一条直线上，因此②错误．因为图形的平移是图形上所有点的平移，所以平移三角形ABC得到三角形正确．本题答案应选D．

3.【答案】D. 【解析】

作EF∥AB, 由ABCD得EFCD, 再根据平行线的性质得∠α+∠AEF=180°,∠y=，对应边中点也一道平移了相同的距离，④

∠DEF,而∠AEF+∠DEF=∠β, 所以∠α+∠B=180°+∠y

巩固：

1.下列说法正确的有(

)．

①

若线段②

若线段③

若且，则线段可以看作是由线段平移得到的

，则线段可看作是由线段平移得到的

，则线段平移后得到线段

④

平移得到的图形大小不变，而形状和位置可能变化

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

2.

如图，EF⊥CD于F，GH⊥CD于H，已知∠1=70°，求∠3的度数．

答案与解析

1.【答案】D. 【解析】本题考查平移的概念及其与平行线的关系．图形的平移涉及平移的方向与距离两个要素．据此可以判断：①的说法不正确，因为不知道线段，是否平行；②的说法也不正确，因为线段，平行，但长度未必相等；③的说法正确，因为线段，既平行，且长度相等；④的说法不正确，因为平移前后的两个图形，形状与大小不变．所以答案应为D．

2.【答案】

∵ EF⊥CD，GH⊥CD，∴

∠EFC=∠GHC=90°，∴ EF∥GH，∴

∠2=∠1=70°，

∴

∠3=∠2=70°．

【解析】

由垂直定义可得∠EFC=∠GHC=90°，从而可判定得出EF∥GH，继而可得∠2=∠1=70°，从而可得∠3的度数.

提高：

1.如图所示，∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，EF经过O点且平行于BC，则∠BOC= 度．

2. 如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠3，求证：AD平分∠BAC．

1.【答案】125．

【解析】解：∵∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，

∴

∠OBC=11∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=30°，

22又∵ EF经过O点且平行BC，

∴

∠EOB=∠OBC=25°，∠FOC=∠OCB=30°，

而

∠EOF是平角即180°，

∴

∠BOC=180°-∠EOB -∠FOC=180°-25°-30°=125°，

则

∠BOC=125°．

2. 【答案】

证明：∵ EG⊥BC，AD⊥BC，

∴ AD∥EG，

∴

∠3=∠1，∠E=∠2；

∵

∠3=∠E，

∴

∠1=∠2，

∴ AD平分∠BAC．

【解析】

求证AD平分∠BAC，即证∠1=∠2．根据题意易证AD∥EG，由平行线的性质结合∠E=∠3可得结论．

五、课堂小结

本节课重点归纳：

（1）利用平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理，及求一些角度的度数

（2）正确理解并掌握基本概念，会写推理的过程，善于归纳总结

（3）平行线的性质和判定

六、拓展延伸

基础：

1. 下列命题是假命题的是（

）

A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角相等

C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同位角相等，两直线平行

2.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出该命题的题设和结论．

（1）同角的补角相等；

（2）在同一个平面内不平行的两条直线必定相交．

答案与解析

1.【答案】B.

【解析】解:A.对顶角相等是真命题,故本选项正确,A不符合题意.两直线平行,同旁内角互补,故本选项错误,B符合题意. 平行于同一条直线的两条直线平行是真命题,故本选项正确,C不符合题意. 同位角相等,两直线平行是真命题,故本选项正确,D不符合题意. 故答案为:B

2.【答案】（1）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．题设：两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等．

（2）在同一个平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线一定相交．题设：在同一个平面内，两条直线不平行，结论：这两条直线一定相交．

【解析】

解这类题的关键是，善于分辨清命题的条件和结论，会用“如果……，那么……”的形式表示命题．

巩固：

1.

下列命题中，是真命题的是（

）

2.

①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

3.

②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行

4.

③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部

5.

④三角形的三个外角一定都是锐角

A．①② B．②③

C．①③ D．③④

2. 如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝28°，求∠AOE的度数．

答案与解析

1.【答案】B．

【分析】根据平面图形的基本概念依次分析各小题即可作出判断

①“同位角相等”必须有“两直线平行”的前提,④直角的外角是直角,故为假命题

②在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行,⑥三角形的三条高中,必有一条在三角形的内部,均为真命题. 故选B.

3.

【答案】

解：∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∠AOC＝28°，∴∠AOD＝152°.(3分)∵OE1平分∠AOD，∴∠AOE＝2∠AOD＝76°.

提高：

1.

如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．

2.

如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，

第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，

第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3……

第n次操作，分别作∠ABEn－1和∠DCEn－1的平分线，交点为En.

(1)如图①，求证：∠BEC＝∠B＋∠C；

1(2)如图②，求证：∠BE2C＝∠BEC；

4(3)猜想：若∠En＝b°，求∠BEC的度数．

答案与解析

1.【答案】解：∵

EF∥AD，AD∥BC，∴

EF∥AD∥BC，∴

∠DAC＋∠ACB＝180°. ∵∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∴

∠BCF＝180°－∠DAC－∠ACF＝180°－120°－20°＝40°.∵

CE平分∠BCF，∴∠FCE＝∠BCE＝20°. ∵

EF∥BC，∴

∠FEC＝∠BCE＝20°. 2.【答案】(1) 证明：如图，过E作EF∥AB. ∵AB∥CD，∴

AB∥EF∥CD，∴

∠B＝∠1，∠C＝∠2. ∵∠BEC＝∠1＋∠2，∴

∠BEC＝∠B＋∠C. (2) 证明：∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴

由(1)可得∠BE1C＝∠ABE1111＋∠DCE1＝∠ABE＋∠DCE＝∠BEC. ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴

由(1)可2221111得∠BE2C＝∠ABE2＋∠DCE2＝∠ABE1＋∠DCE1＝∠BE1C＝∠BEC. 2224(3) 解：∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C＝∠ABE3＋∠DCE311111＝∠ABE2＋∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC……以此类推，∠En＝n∠BEC，∴当∠En＝b°时，22282∠BEC＝2b°. n