2.2.2 椭圆的几何性质教案设计（一等奖）

椭圆的几何性质

扬州市江都区丁沟中学 田瑞华

【教学目标】

1.掌握椭圆的简单几何性质，感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法. 2.会把几何问题化归成代数问题来分析，培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

3.培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 【教学重难点】

重点：

掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用。

难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。 【教学过程】

1.知识回顾：椭圆的定义，标准方程，a,b,c的关系：

【设计意图】：回顾上节课所学内容，巩固知识并为本节课所学做铺垫。

2.创设情境，激发兴趣，引入椭圆的性质

（用多媒体显示图片）

图1：

国家大剧院 图2：鸟巢 图3：神七运行轨道

教师：上节课我们学习了椭圆的定义、图形和标准方程。其实椭圆在我们生活中有着广泛的应用，比如建筑学（国家大剧院、鸟巢、神七运行轨道）、光学、运动学等，这节课我们来共同研究椭圆的性质。

x2y21所对应的曲线？

3.活动创设：运用所学的知识，你能否画出方程169 （如果不能精确地画出，也可以画出它的草图。）

（预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；

预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x轴y轴的交点再连结；

预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；

预案四：学生可能会联系函数描点法画图（对学生方程与函数理解要求较高））

【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点。

请大家拿着刚才画好了椭圆的纸，仔细观察，细心联想，你能发现椭圆有哪些性质吗？按顺序列举学生给出的答案，并对学生由观察所得出的结论进行表扬。对学生列举出椭圆的一些性质，带领学生一起进一步通过代数的方法进行验证。（意图让学生在了解如何用曲线

的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。）

问题引动，探究新知

x2y2问题1、椭圆221(ab0)有哪些几何性质？

ab范围，对称性，顶点，离心率（一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现）

问题2、请你根据数学知识和经验证明你得出的结论

（学生分组讨论、共同探究。教师巡视，鼓励学生回答。）

探究一：范围

问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？

（预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观）

（强调在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的

话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质则是解析几何的目的。）

问题2：

你能否用方程说明该范围？

(先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果。) x2y20和202b（预案一：利用a的特点；

x2y2（）（）122ab预案二：观察方程形式，联系cossin1；

x2x2yb12和yb12aa）

预案三：与函数定义域和值域联系，研究了范围给我们带来了好处，如：该椭圆在该矩形框内，方便于画图。【设计意图】指明用方程研究曲线性质是解析几何的目的。学生观察方程形式特点，利用方程去说明范围，能体会到方程研究性质的应用。联系之前所学三角函数和函数定义域值域知识，更能加强学生对知识综合运用加深理解。

探究二：对称性

教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦

点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生用刚才椭圆的图像进行研究。）

问题1：该椭圆具有什么对称性？

问题2：能否用代数法说明该对称性？

（问题2对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生

回答过程中，强调“任意取一点”，并引导学生用曲线方程的定义回答问题。）

【设计意图】用代数法判断对称性具有相当难度，老师适当引导，突出“任意取

一点”。学以致用能让学生体会到方程判断曲线对称性的好处。

研究该椭圆对

称性时，指出一般椭圆的对称性，体现出特殊与一般的区别。

探究三：顶点的发现与确定

我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。

问题1：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？

由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标

轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。

启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。

问题2：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=±b，因此B1(0,-b), B2(0,b) ，令y=0，得x=±a，因此A1 (-a,0), A2(a,0)。

结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。

由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1 , A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。

探究四：椭圆的离心率

问题1：用a,b,c的数量关系是什么？

x2y2x2y21的简图并和1图像进行比问题2：请大家用所得出的性质画出椭圆164169较，观察这两个椭圆，你能发现什么？（先思考然后小组合作讨论，互相交流看法，小组展示成果）引导学生回答。

生：两个椭圆的图形不一样，一个较圆，一个较扁。

师：也就是说两个椭圆的扁平程度不一样，为什么会产生这样的差异呢？

生：从方程看b不一样！第一个椭圆中b3b232，第二个椭圆中。，

a4a444第一个椭圆较圆，第二个椭圆较扁。

生：我觉得b的值也能刻画椭圆的扁平程度，当b越接近于a时，椭圆越圆；当b越接近于ac刻画，当c越接近a，则b越小，因此椭圆越扁；当c越接近a0时，椭圆越扁。

生：c2a2b2,也可用0，则b越接近于a，因此椭圆越圆。

师：用cc的值来刻画椭圆的扁平程度，而且还解释了椭圆随的值的变化而变化的情况。

aa

bbc非常直观地刻画了椭圆的扁平程度，其实，从本质上与是一样的，如果我们仔细研aaa究还会发现c也能刻画椭圆的扁平程度。a和c是原始量，刻画椭圆扁平程度的量称为离心b率，离心率最早是为了描述太阳系中行星运行轨道的形状而引人的，又称偏心率。即指某一椭圆轨道与理想圆环的偏离程度。现在我们通常指椭圆焦点偏离中心的程度。即离心率e2ccc因此，我们统一用的值来刻画椭圆的扁平程度。因为ac0，所以0e1。

，2aaa问题3：离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度？

（预案：展示课件，让学生用逼近的思想想象当e 0时，椭圆接近于圆；当e 1时，椭圆接近于一条线段。其中0看成圆，1看成线段，方便学生的记忆。）

结合本节课所学知识，完成下表：

标准方程

图

形

0 范围

对称轴

x2a2y2b21(ab0)

y2a2x2b21(ab0)y y x 0

|x|≤ b , |y|≤ a 2b

x轴短轴长y轴长轴长2ax

|x|≤ a , |y|≤ b 轴长轴长2a

x

y轴短轴长2b顶点坐标

离心率

(a,0)(0,b)

(b,0)(0,a)c，e越大，椭圆越

扁，e越小，椭圆越

圆。

0e1(e)a应用知识，解决问题

例1、求椭圆16x225y2400的长轴长和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. （学生口答，教师板书。）

x2y21。从方程可知a5,b4,c25163。

解：椭圆方程可以化为标准形式2516因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a10和2b8，离心率ec3，两个焦点坐标分别a5是F1(3,0)和F2(3,0),四个顶点坐标分别为A1(5,0),A2(5,0),B1(0,4),B2(0,4). 例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)

经过点P(3,0),Q(0,2) (2)长轴长为20，离心率等于223

5预案一：例2(1)学生可能设方程为mxny1(m0,n0,mn)代入求方程；

预案二：例2(1)学生可能由顶点坐标直接判断焦点位置和a,b的值。

(要肯定学生不同解法，并指出预案一方法的一般性以及预案二方法的简洁) 例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），

求椭圆的方程。

作业：

1.说出下列椭圆的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:

22xy（1）

1164 2

xy21（2）

9162

xy2212.设在椭圆 （a>b>0）上有一点P，它与两个焦点的连

2ab

线互相垂直，求这个椭圆的离心率. 3.过作椭圆的焦点作长轴的垂线交椭圆于点P,若 为等腰直角三角形,求其离心率 F1F2P回顾反思，提炼方法

1、这节课你学到了哪些知识？会解决哪些问题？

椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率（一框两轴七点，e来刻画圆和扁）。会解决已知椭圆基本量求椭圆的标准方程；会根据椭圆的标准方程研究椭圆的性质。

2、你是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？从中你有何启发？

师生共同总结：研究椭圆的性质，类似于研究函数的性质 （定义域、值域、奇偶性、单调性等）。本节课主要以曲线的方程为工具，利用代数方法研究曲线的性质，是解析几何研究曲线的常用方法，研究时可以用从特殊到一般的方法。