2.2.2 椭圆的几何性质教学设计模板

求离心率取值范围问题常用策略

江苏省兴化中学

戚立辉

圆锥曲线

离心率

取值范围

几何关系

一、【问题背景】

离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求椭圆或双曲线的离心率取值范围一直是高考考查的难点，涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，建立a,b,c的不等关系，能够很好的考查学生的思维能力和运算能力. 二、【常见的方法】

解决问题的难点是怎样建立a,b,c的不等关系，要充分挖掘题目中的条件，主要的方法是寻找几何关系.几何关系包括利用圆锥曲线的定义、圆锥曲线的几何性质、平面几何上的不等关系、解三角形的知识以及数形结合思想等.

三、【范例】

x2y2例1

已知椭圆221(ab0)上一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点，若AFBF,设abABF,且,,则椭圆离心率的取值范围是

.

124【解题分析】本题的关键是利用椭圆的对称性和定义，建立a,c的等量关系式，再根据三角函数的知识，进一步求解离心率的取值范围.

【解析】如图，取左焦点为F1.连结AF1,BF1可得四边形AF1BF是矩形，又AFBF,所以AF1AF.

又F1F2c，所以AF2csin,BF2ccos，再由AF1AFAFBF2a，得：

yAx2csin2ccos2a，即c11. asincos2sin()4F1BoF62sin()2，

因为,,所以24124从而离心率的取值范围是[26,]．

23

例2

已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是________.

【解题分析】本题利用垂直平分线的性质得出|FM|OF|，进而根据斜线段大于

等于直线段得出不等关系.实质上是利用平面几何线段间的关系构造关于

O F y l

M x a,c的不等式．

a2c，【解析】如图，由于线段OM的垂直平分线经过点F，所以|FM||OF|c，F到准线的距离为c

2c2a2c，,1)．

则有c，从而离心率的取值范围是[c2a2x2y2例3

已知F1,F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1PF2,则椭圆ab的离心率的取值范围是_______. 【解题分析】本题可以从多个角度思考.方法一，利用勾股定理和椭圆定义，求得|PF1||PF2|,再根据基本等式构造出得等关系.方法二，由于PF1PF2，根据椭圆的对称性，故P点应为以原点为圆心，以c为半径的圆和椭圆的交点，由圆和椭圆要有公共点得出不等关系.方法三，设出P点坐标，根据PF1PF2和P点在椭圆上，求得P点横坐标，根据椭圆的几何性质得出不等关系．

【解析】方法一：PF|PF1PF2,1||PF2|2a，

1||PF2||F1F2|,又|PF2222a2c(，|PF||PF|||PF|4c4a22|PF1212222|PF1||PF2|2)a2，

2e212,1)．

，从而离心率的取值范围是[22方法二：由于PF1PF2，根据椭圆的对称性，故P点应为以原点为圆心，以c为半径的圆和椭圆的交点，即圆和椭圆有公共点，而椭圆上的点到原点的最短距离为b，所以应有cb，所以cbac，

2222e212,1)．

，从而离心率的取值范围是[22222，

方法三：设P(x0,y0)，F1(c,0),F2(c,0)，由PF1PF2，得PF1PF20,有x0y0c22a2(c2b2)x0y02222e[,1). 又P在椭圆上有221，根据解得x0，由，从而解得0xa0abc22

四、【练习】

1.过椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上11的射影恰好为右焦点F，若＜k＜, 则椭圆的离心率的取值范围是

23

．

a2c2|BF2|a2c2a2c2a2【解析】|AF2|ac，|BF2|，ktanBAF2，

|AF2|acaaca222111ac111e1，解得1e2．

又＜k＜，所以，故23233a2ac231e2x2y22.设F是椭圆221(ab0)右焦点，A是其右准线与x轴的交点．若在椭圆上存在一点P，使线ab段PA的垂直平分线恰好经过点F，则椭圆离心率的取值范围是

．

a2a2c，由线段PA的垂直平分线恰好经过点F，

【解析】由题意A(,0),F(c,0),FAcc2aaccaca2acPAacc，又c所以PAFA，所以有，左边不等式恒成立，右边c112离心率的取值范围是e[,1)．

2ee10可化为，解得，从而22x2y2P使

3.已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点abac，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．

sinPF1F2sinPF2F1【解析】解法1：因为在PF1F2中，由正弦定理得PF2PF1ac,则由已知，得，即sinPF1F2sinPF2F1PFPF1211aPF1cPF2设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1aex0,PF2aex0则a(aex0)c(aex0)

解得x02a(ca)a(e1)a(e1)a，

由椭圆的几何性质知x0a则e(ca)e(e1)e(e1)整理得e2e10,解得e21或e21，又e(0,1)，故椭圆的离心率e(21,1). cc2a2解法2 ：由解法1知PF1PF2由椭圆的定义知PF1PF22a则PF2PF22a即PF2，

aaca

2a2ac,既c22ca20,所以e22e10,以下同解析1.

由椭圆的几何性质知PF2ac,则cax2y2PF14.已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得＝e，abPF2则该离心率e的取值范围是________．

2ae2a【解析】

因为PF1＝ePF2，PF1＋PF2＝2a，所以PF1＝，PF2＝，因为e∈(0,1)，所以PF1＜PF2.1＋e1＋e2ae2ac由椭圆性质知a－c≤PF1≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c，即a－c≤≤a＋c，即a2－c2≤2ac≤(a＋c)2，

1＋ea＋c即e2＋2e－1≥0.又0＜e＜1，所以2－1≤e＜1.

x2y2→→5.已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1·PF2＝c2，则此椭圆ab离心率的取值范围是________．

→→【解析】

设P(x，y)，则PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①

b22将y＝b－2x代入①式解得x2＝a22c2－a2a232c，又x2∈[0，a2]∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝[,].

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